表現論の問題

表現・指標はすべて複素数体 $\mathbb{C}$ 上の有限次元のものとする。$G$ を有限群とし、$G^{\prime }$ をその交換子群とする。また
$$N=\#\{(x,y)\in G\times G\mid xy=yx\}$$
を、$G$ の可換な元の順序対の個数とする。このとき
$$4N\le |G|(|G|+3[G:G^{\prime }])$$
が成り立ち、さらに等号が成り立つための必要十分条件は「$G$ の次数が $1$ でない既約指標の次数がすべて $2$ であること」（そのような既約指標が存在しない場合も含む）であることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 有限群 $G$ の既約指標の個数は $G$ の共役類の個数に等しい。
- 既約指標の次数を $d_1,\dots ,d_k$ とすると ${\sum }_{i=1}^k{d}_i^2=|G|$ である。
- $G$ の次数 $1$ の指標の個数は $[G:G^{\prime }]$ に等しい。

$n$ 次対称群 $S_n$ の複素既約表現（同型類）は $n$ の分割 $\lambda$ と $1$ 対 $1$ に対応する。分割 $\lambda$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{\lambda }$ と書き、$\lambda$ の共役分割（ヤング図形を転置した分割）を ${\lambda }^{\prime }$ と書く。$A_n$ を $n$ 次交代群とする。必要なら次の事実を用いてよい。

• $\lambda \ne {\lambda }^{\prime }$ のとき、$S^{\lambda }$ を $A_n$ に制限した表現は既約であり、$S^{\lambda }$ と $S^{{\lambda }^{\prime }}$ の制限は互いに同型である。
• $\lambda ={\lambda }^{\prime }$ のとき、$S^{\lambda }$ を $A_n$ に制限した表現は、互いに同型でない $2$ つの既約表現の直和に分解し、それらの次元はともに $\frac{1}{2}\dim S^{\lambda }$ である。
• $A_n$ の複素既約表現はすべて、ある $S^{\lambda }$ の $A_n$ への制限の既約成分として現れる。

$8$ 次交代群 $A_8$ の複素既約表現の次元の最大値を求めよ。

$m$ を正の整数とし、$2m$ の分割 $\lambda =(m,m)$（ヤング図形が長さ $m$ の行 2 つからなる分割）を考える。$\lambda$ に対応する対称群 $S_{2m}$ の複素既約表現の次元を $f^{\lambda }$ と書く。

$f^{\lambda }$ が奇数であるための必要十分条件は、ある正の整数 $r$ を用いて $m=2^r-1$ と表せることであることを証明せよ。

ただし、次の 2 つは証明なしに用いてよい。
- （フック長公式）$n$ の分割 $\mu$ に対応する $S_n$ の既約表現の次元は $f^{\mu }=\frac{n!}{{\prod }_{x}h(x)}$ である。ここで積は $\mu$ のヤング図形のすべての箱 $x$ にわたり、$h(x)$ は $x$ のフック長（$x$ 自身、$x$ の右にある同じ行の箱、$x$ の下にある同じ列の箱の個数の合計）である。
- （リュカの定理、法 2）非負整数 $a,b$ を 2 進展開して $a={\sum }_{i\ge 0}{a}_i{2}^i$, $b={\sum }_{i\ge 0}{b}_i{2}^i$（$a_i,b_i\in \{0,1\}$ で、有限個の $i$ を除いて $0$）とすると $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}\right)\equiv \prod _{i\ge 0}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_i}{b_i}\right)(\mathrm{mod}2)$ が成り立つ。ここで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)=0$, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)=1$ とする。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{C})$ とし、カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ を対角成分の和が $0$ の対角行列全体とする。${\epsilon }_i\in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ $(i=1,2,3)$ を対角行列の第 $i$ 成分を取り出す線形形式とし、単純ルートを ${\alpha }_1={\epsilon }_1-{\epsilon }_2$, ${\alpha }_2={\epsilon }_2-{\epsilon }_3$、正ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2$ とする。ルート ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j$ $(i\ne j)$ のコルートを $H_{ij}=E_{ii}-E_{jj}\in \mathfrak{h}$（$E_{ii}$ は行列単位）とし、基本ウェイト ${\omega }_1,{\omega }_2\in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ を ${\omega }_i(H_{j,j+1})={\delta }_{ij}$ $(i,j\in \{1,2\})$ で定める。

非負整数 $a,b$ に対し、最高ウェイト $a{\omega }_1+b{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現を $V(a,b)$ とする。

$\dim V(a,b)$ が $3$ で割り切れないための必要十分条件は、「$a\equiv b\equiv 0(\mathrm{mod}3)$」または「$a\equiv b\equiv 1(\mathrm{mod}3)$」であることを証明せよ。

ただし、次のワイルの次元公式は証明なしに用いてよい: $\rho ={\omega }_1+{\omega }_2$ とし、正ルート $\alpha$ のコルートを $H_{\alpha }$ とすると、最高ウェイト $\lambda$ の有限次元既約表現の次元は
$$\dim V(\lambda )=\prod _{\alpha >0}\frac{(\lambda +\rho )(H_{\alpha })}{\rho (H_{\alpha })}$$
である（積は正ルート全体にわたる）。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$G={\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)$（${\mathbb{F}}_3$ 成分の $2$ 次正則行列全体のなす群、位数 $48$）とする。正の整数 $d$ に対し、$G$ の複素既約表現の同型類のうち次元がちょうど $d$ であるものの個数を $a_d$ とおく。組 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ を求めよ。