表現論の問題

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_4(\mathbb{C})$ とし、対角行列全体をカルタン部分代数 $\mathfrak{h}$、上三角行列全体をボレル部分代数にとる。単純ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$（${\alpha }_i={\epsilon }_i-{\epsilon }_{i+1}$、${\epsilon }_i$ は対角成分の第 $i$ 成分を取り出す線形形式）、対応する基本ウェイトを ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$ とする。最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1+{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現 $V(\lambda )$ の次元 ${\dim }_{\mathbb{C}}V(\lambda )$ を求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_4(\mathbb{C})$（$A_3$ 型の複素単純リー環）を考える。対角行列からなるカルタン部分代数をとり、そのウェイトを ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$（${\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3+{\epsilon }_4=0$）で表す。ルートは ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j(i\ne j)$、正ルートは ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j(i<j)$ とし、ワイル群 $W\cong S_4$ は添字の置換として作用する。

最高ウェイト $\lambda ={\epsilon }_1-{\epsilon }_4$ をもつ有限次元既約表現を $V(\lambda )$ とする。$V(\lambda )$ に現れる支配的ウェイトは $\lambda$ と $0$ の $2$ つだけであること、および最高ウェイト $\lambda$ の重複度が $1$ であることを用いてよい。ウェイト $0$ の重複度 $\dim V(\lambda {)}_0$ を求めよ。

$\mathfrak{g}$ を $G_2$ 型の複素単純リー環とし、カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ と単純ルート ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ を固定する。ここで ${\alpha }_1$ を短いルート、${\alpha }_2$ を長いルートとし、${\mathfrak{h}}^{\ast }$ 上の不変内積 $(\cdot ,\cdot )$ を
$$({\alpha }_1,{\alpha }_1)=1,({\alpha }_2,{\alpha }_2)=3,({\alpha }_1,{\alpha }_2)=-\frac{3}{2}$$
と正規化する。基本ウェイト ${\omega }_1,{\omega }_2$ を $\frac{2({\omega }_i,{\alpha }_j)}{({\alpha }_j,{\alpha }_j)}={\delta }_{ij}$ で定める。最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1+{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現 $V(\lambda )$ の（複素ベクトル空間としての）次元を求めよ。

$G$ を有限群、$V$ を複素数体 $\mathbb{C}$ 上の $0$ でない有限次元ベクトル空間とし、$\rho :G\to GL(V)$ を $G$ の表現、$\chi (g)=\mathrm{tr}\rho (g)$ をその指標とする。$n=\dim V$ とおく。$G^{\prime }$ は $G$ の交換子群（交換子 $xy{x}^{-1}{y}^{-1}$ $(x,y\in G)$ 全体で生成される部分群）とする。

すべての $g\in G$ に対して $|\chi (g)|=n$ が成り立つと仮定する。このとき、すべての $h\in G^{\prime }$ に対して $\rho (h)={\mathrm{id}}_V$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 各 $g\in G$ に対し、$\rho (g)$ は対角化可能であり、その固有値はすべて $1$ のべき根（特に絶対値 $1$ の複素数）である。

$\mathfrak{g}$ を $G_2$ 型の複素単純リー環とする。カルタン部分代数と正ルート系を固定し、単純ルートを ${\alpha }_1$（短いルート）、${\alpha }_2$（長いルート）とする。対応する基本ウェイトを ${\omega }_1,{\omega }_2$ とする。$\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現の同型類は、支配的整ウェイト $\lambda =a{\omega }_1+b{\omega }_2$（$a,b$ は $0$ 以上の整数）と最高ウェイトによって $1$ 対 $1$ に対応する。

次元が $300$ 未満である $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現の同型類の個数を求めよ。ただし、自明表現（次元 $1$）も数に含める。