表現論の問題

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{C})$（$A_2$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数と正ルート系を固定し、単純ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2$、対応する基本ウェイトを ${\omega }_1,{\omega }_2$（$({\omega }_i,{\alpha }_j^{\vee })={\delta }_{ij}$）とする。正ルートは ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2$ の $3$ 個である。最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1+{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現 $V(\lambda )$ の次元を求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{C})$ とし、カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ を対角成分の和が $0$ の対角行列全体とする。${\epsilon }_i\in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ $(i=1,2,3)$ を対角行列の第 $i$ 成分を取り出す線形形式とし、単純ルートを ${\alpha }_1={\epsilon }_1-{\epsilon }_2$, ${\alpha }_2={\epsilon }_2-{\epsilon }_3$、正ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2$ とする。ルート ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j$ $(i\ne j)$ のコルートを $H_{ij}=E_{ii}-E_{jj}\in \mathfrak{h}$（$E_{ii}$ は行列単位）とし、基本ウェイト ${\omega }_1,{\omega }_2\in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ を ${\omega }_i(H_{j,j+1})={\delta }_{ij}$ $(i,j\in \{1,2\})$ で定める。

非負整数 $a,b$ に対し、最高ウェイト $a{\omega }_1+b{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現を $V(a,b)$ とする。

$\dim V(a,b)$ が $3$ で割り切れないための必要十分条件は、「$a\equiv b\equiv 0(\mathrm{mod}3)$」または「$a\equiv b\equiv 1(\mathrm{mod}3)$」であることを証明せよ。

ただし、次のワイルの次元公式は証明なしに用いてよい: $\rho ={\omega }_1+{\omega }_2$ とし、正ルート $\alpha$ のコルートを $H_{\alpha }$ とすると、最高ウェイト $\lambda$ の有限次元既約表現の次元は
$$\dim V(\lambda )=\prod _{\alpha >0}\frac{(\lambda +\rho )(H_{\alpha })}{\rho (H_{\alpha })}$$
である（積は正ルート全体にわたる）。

$\mathfrak{g}$ を $G_2$ 型の複素単純リー環とする。カルタン部分代数と正ルート系を固定し、単純ルートを ${\alpha }_1$（短いルート）、${\alpha }_2$（長いルート）とする。対応する基本ウェイトを ${\omega }_1,{\omega }_2$ とする。$\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現の同型類は、支配的整ウェイト $\lambda =a{\omega }_1+b{\omega }_2$（$a,b$ は $0$ 以上の整数）と最高ウェイトによって $1$ 対 $1$ に対応する。

次元が $300$ 未満である $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現の同型類の個数を求めよ。ただし、自明表現（次元 $1$）も数に含める。

$\mathfrak{g}$ を $G_2$ 型の複素単純リー環とし、カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ と単純ルート ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ を固定する。ここで ${\alpha }_1$ を短いルート、${\alpha }_2$ を長いルートとし、${\mathfrak{h}}^{\ast }$ 上の不変内積 $(\cdot ,\cdot )$ を
$$({\alpha }_1,{\alpha }_1)=1,({\alpha }_2,{\alpha }_2)=3,({\alpha }_1,{\alpha }_2)=-\frac{3}{2}$$
と正規化する。基本ウェイト ${\omega }_1,{\omega }_2$ を $\frac{2({\omega }_i,{\alpha }_j)}{({\alpha }_j,{\alpha }_j)}={\delta }_{ij}$ で定める。最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1+{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現 $V(\lambda )$ の（複素ベクトル空間としての）次元を求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_4(\mathbb{C})$（$A_3$ 型の複素単純リー環）を考える。対角行列からなるカルタン部分代数をとり、そのウェイトを ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$（${\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3+{\epsilon }_4=0$）で表す。ルートは ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j(i\ne j)$、正ルートは ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j(i<j)$ とし、ワイル群 $W\cong S_4$ は添字の置換として作用する。

最高ウェイト $\lambda ={\epsilon }_1-{\epsilon }_4$ をもつ有限次元既約表現を $V(\lambda )$ とする。$V(\lambda )$ に現れる支配的ウェイトは $\lambda$ と $0$ の $2$ つだけであること、および最高ウェイト $\lambda$ の重複度が $1$ であることを用いてよい。ウェイト $0$ の重複度 $\dim V(\lambda {)}_0$ を求めよ。