表現論の問題

ワイルの次元公式　最高ウェイト $\lambda$ の既約表現 $V(\lambda )$ について
$$\dim V(\lambda )=\prod _{\alpha >0}\frac{(\lambda +\rho ,{\alpha }^{\vee })}{(\rho ,{\alpha }^{\vee })},{\alpha }^{\vee }=\frac{2\alpha }{(\alpha ,\alpha )},\rho ={\omega }_1+{\omega }_2$$
が成り立つ。

ルート系の準備　内積を $({\alpha }_1,{\alpha }_1)=2$, $({\alpha }_2,{\alpha }_2)=6$, $({\alpha }_1,{\alpha }_2)=-3$ と正規化する（${\alpha }_1,{\alpha }_2$ のなす角は $150^{\circ }$、長さの比は $\sqrt{3}$）。正ルートは次の $6$ 個である。
- 短いルート（長さの $2$ 乗が $2$）：${\alpha }_1,{\alpha }_1+{\alpha }_2,2{\alpha }_1+{\alpha }_2$
- 長いルート（長さの $2$ 乗が $6$）：${\alpha }_2,3{\alpha }_1+{\alpha }_2,3{\alpha }_1+2{\alpha }_2$

(例：$|{\alpha }_1+{\alpha }_2{|}^2=2+6-6=2$、$|3{\alpha }_1+2{\alpha }_2{|}^2=18+24-36=6$。)

$\alpha =c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2$ とする。$({\omega }_i,{\alpha }_j^{\vee })={\delta }_{ij}$ より $({\omega }_i,{\alpha }_i)=({\alpha }_i,{\alpha }_i)/2$ なので、
$$({\omega }_i,{\alpha }^{\vee })=\frac{2c_i({\omega }_i,{\alpha }_i)}{(\alpha ,\alpha )}=\frac{c_i({\alpha }_i,{\alpha }_i)}{(\alpha ,\alpha )}$$
となる。$\lambda +\rho =x{\omega }_1+y{\omega }_2$（$x=a+1$, $y=b+1$）とおく。
- 短いルートでは $(\lambda +\rho ,{\alpha }^{\vee })=c_{1}x+3c_{2}y$ となり、値は $x,x+3y,2x+3y$ である。
- 長いルートでは $(\lambda +\rho ,{\alpha }^{\vee })=\frac{c_{1}x}{3}+c_{2}y$ となり、値は $y,x+y,x+2y$ である。

$x=y=1$（すなわち $\lambda =0$）のときの積は $1\cdot 4\cdot 5\cdot 1\cdot 2\cdot 3=120$ である。よって
$$\dim V(a{\omega }_1+b{\omega }_2)=\frac{xy(x+y)(x+2y)(x+3y)(2x+3y)}{120}(x=a+1,y=b+1).$$
確認すると、$(a,b)=(1,0)$ のとき $7$、$(0,1)$ のとき $14$（随伴表現）となり、正しい。

数え上げ　この式は $x,y$ のそれぞれについて狭義単調増加である。したがって、各 $b$ について $a$ を増やしていき、$300$ 以上になったところで止めればよい。
- $b=0$：$a=0,1,2,3,4,5$ に対して $1,7,27,77,182,378$ となる。$300$ 未満は $5$ 個。
- $b=1$：$a=0,1,2,3$ に対して $14,64,189,448$ となる。$300$ 未満は $3$ 個。
- $b=2$：$a=0,1,2$ に対して $77,286,729$ となる。$300$ 未満は $2$ 個。
- $b=3$：$a=0,1$ に対して $273,896$ となる。$300$ 未満は $1$ 個。
- $b=4$：$a=0$ で $\frac{1\cdot 5\cdot 6\cdot 11\cdot 16\cdot 17}{120}=748$ となる。$b\ge 4$ では $0$ 個。

途中の計算の例：$(1,2)$ では $x=2,y=3$ より $\frac{2\cdot 3\cdot 5\cdot 8\cdot 11\cdot 13}{120}=\frac{34320}{120}=286$。$(0,3)$ では $x=1,y=4$ より $\frac{1\cdot 4\cdot 5\cdot 9\cdot 13\cdot 14}{120}=\frac{32760}{120}=273$。

次元 $77$ の既約表現は $3{\omega }_1$ と $2{\omega }_2$ の $2$ つがあり、これらは別の同型類として数える。

以上より、求める個数は $5+3+2+1=11$ である。

ワイル次元公式より、$\lambda =a{\omega }_1+b{\omega }_2$ の既約表現の次元は $\dim V(a,b)=\frac{(a+1)(b+1)(a+b+2)(a+2b+3)(a+3b+4)(2a+3b+5)}{120}$ である。$(a,b)=(1,0)$ で 7、$(0,1)$ で 14、$(2,0)$ で 27 となり、既知の値と一致する。

$b$ ごとに $a$ を動かして次元を計算する。
- $b=0$: $a=0,1,2,3,4,5$ に対して $1,7,27,77,182,378$。300 未満は $a=0,\dots ,4$ の 5 個。
- $b=1$: $a=0,1,2,3$ に対して $14,64,189,448$。300 未満は 3 個。
- $b=2$: $a=0,1,2$ に対して $77,286,729$。300 未満は 2 個。
- $b=3$: $a=0,1$ に対して $273,896$。300 未満は 1 個。
- $b=4$: $a=0$ で $748$。300 以上なので 0 個。$b\ge 4$ では $a=0$ の次元がすでに 300 以上で、次元は $a,b$ について単調増加なので 0 個。

合計は $5+3+2+1=11$ 個。次元は $1,7,14,27,64,77,77,182,189,273,286$ である。