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表現論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学表現論

$n \geq 3$ を奇数とし、位数 $2 n$ の二面体群
$G = D_{n} = ⟨ r, s ∣ r^{n} = s^{2} = 1, sr s^{- 1} = r^{- 1} ⟩$
を考える。部分群 $H = {1, s}$ の $1$ 次元複素表現 $ε$ を $ε (s) = - 1$ で定め、誘導表現を $V = Ind_{H}^{G} ε$ （ $n$ 次元の $G$ の複素表現）とおく。テンソル積表現 $V \otimes V$ （ $G$ は対角的に作用する）について、 $G$ 準同型全体のなす複素ベクトル空間
$End_{G} (V \otimes V)$
の次元を $n$ の式で表せ。

この問題で使うもの

誘導表現とフロベニウスの相互律（説明と入口の問題）
テンソル積・対称積・交代積の分解（説明と入口の問題）
指標の直交関係と重複度（説明と入口の問題）
群の表現と指標（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$dim End_{G} (W)$ は $W$ の指標の自分自身との内積 $⟨ χ_{W}, χ_{W} ⟩$ に等しい。まず $V$ の指標を誘導指標の公式で求めよう。

ヒント 2

誘導指標は $χ (g) = \frac{1}{∣ H ∣} \sum_{x^{- 1} g x \in H} ε (x^{- 1} g x)$ で求まる。 $n$ が奇数なので鏡映はすべて共役で、 $C_{G} (s) = {1, s}$ となる。 $V \otimes V$ の指標は $χ^{2}$ である。

ヒント 3

$χ$ は単位元で $n$ 、非自明な回転で $0$ 、鏡映で $- 1$ をとる。よって $χ^{2}$ は単位元で $n^{2}$ 、非自明な回転で $0$ 、鏡映で $1$ をとる。あとは $\frac{1}{2 n} \sum_{g} χ (g)^{4}$ を計算すればよい。

答えと解説

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\frac{n ^{3} + 1}{2}

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解説を読む

$χ$ を $V$ の指標とする。誘導指標の公式
$χ (g) = \frac{1}{∣ H ∣} x \in G x^{- 1} g x \in H \sum ε (x^{- 1} g x)$
を使う。 $G$ の元は回転 $r^{k}$ $(0 \leq k \leq n - 1)$ と鏡映 $r^{k} s$ $(0 \leq k \leq n - 1)$ の $2 n$ 個である。

(1) $g = 1$ のとき。 $χ (1) = [G : H] = n$ 。

(2) $g = r^{k}$ $(k \neq = 0)$ のとき。 回転の共役は回転である。また $r^{k} \neq = 1$ の共役は $1$ にならない。よって $x^{- 1} g x \in H$ となる $x$ は存在せず、 $χ (r^{k}) = 0$ 。

(3) $g$ が鏡映のとき。 まず $C_{G} (s)$ を求める。 $r^{k} s = s r^{k}$ は $r^{k} = r^{- k}$ 、すなわち $r^{2 k} = 1$ と同値である。 $n$ は奇数なので、これは $k = 0$ のときに限る。また $r^{k} s$ と $s$ が可換であることは $r^{k} = s r^{k} s^{- 1} = r^{- k}$ と同値なので、これも $k = 0$ のときに限る。したがって $C_{G} (s) = {1, s}$ であり、 $s$ の共役類の大きさは $2 n /2 = n$ となる。つまり $n$ 個の鏡映はすべて互いに共役である。

鏡映 $g$ に対して $x^{- 1} g x \in H$ となるのは $x^{- 1} g x = s$ のときだけである。このような $x$ の個数は $∣ C_{G} (g) ∣ = ∣ C_{G} (s) ∣ = 2$ である。よって
$χ (g) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot ε (s) = - 1.$

$V \otimes V$ の指標。 テンソル積の指標は指標の積なので、 $V \otimes V$ の指標は $χ^{2}$ であり、その値は次のとおりである。
- 単位元で $n^{2}$
- 非自明な回転で $0$
- 鏡映で $1$

次元の計算。 一般に表現 $W$ の指標を $ψ$ とすると $dim End_{G} (W) = ⟨ ψ, ψ ⟩$ である（シューアの補題と指標の直交関係による）。よって
$dim End_{G} (V \otimes V) = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum ∣ χ (g)^{2} ∣^{2} = \frac{1}{2 n} (n^{4} + (n - 1) \cdot 0 + n \cdot 1^{2}) = \frac{n ^{4} + n}{2 n} = \frac{n ^{3} + 1}{2} .$

検算。 $n = 3$ （ $G ≅ S_{3}$ ）のとき、 $V = sgn \oplus ρ$ （ $ρ$ は $2$ 次元既約表現）である。 $ρ \otimes ρ = 1 \oplus sgn \oplus ρ$ と $sgn \otimes ρ ≅ ρ$ を使うと
$V \otimes V = 2 \cdot 1 \oplus sgn \oplus 3 ρ$
となる。したがって次元は $2^{2} + 1^{2} + 3^{2} = 14 = \frac{27 + 1}{2}$ であり、公式と一致する。

答えは $\frac{n ^{3} + 1}{2}$ 。

別解

$χ = χ_{V}$ とおく。 $dim End_{G} (V \otimes V) = ⟨ χ^{2}, χ^{2} ⟩ = \frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g \in G} ∣ χ (g) ∣^{4}$ である。

誘導表現の指標を求める。
- 単位元では $χ (1) = n$ である。
- 回転 $r^{k}$ （ $k \neq = 0$ ）は $1$ とも $s$ とも共役でない。よって $H$ のどの共役にも入らず、 $χ (r^{k}) = 0$ である。
- 鏡映は $n$ 個あり、 $n$ が奇数なのですべて共役である。 $χ (s) = \frac{1}{2} \sum_{x \in G, x^{- 1} s x \in H} ε (x^{- 1} s x)$ で、 $x^{- 1} s x = s$ となる $x$ は $∣ C_{G} (s) ∣ = 2$ 個なので $χ (s) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (- 1) = - 1$ である。

したがって
$\sum ∣ χ (g) ∣^{4} = n^{4} + 0 + n \cdot 1 = n^{4} + n,$
$dim = \frac{n ^{4} + n}{2 n} = \frac{n ^{3} + 1}{2} .$

検算として $n = 3$ で既約分解から直接数える。 $V = sgn \oplus ρ_{1}$ であり、 $ρ_{1}$ は 2 次元既約表現である。このとき $V \otimes V = 2 \cdot 1 \oplus sgn \oplus 3 ρ_{1}$ となる。よって次元は $4 + 1 + 9 = 14$ で、公式の $(27 + 1) /2 = 14$ と一致する。

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