表現論の問題

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$V$ を $G$ の $3$ 次元標準表現、すなわち $G$ が ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する表現の部分表現
$$V=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in {\mathbb{C}}^4\mid v_1+v_2+v_3+v_4=0\}$$
とする。$\sigma =(1234)\in G$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とし、$\psi :H\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を $\psi (\sigma )=i$（$i$ は虚数単位）で定まる $1$ 次元表現とする。誘導表現 $W={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ と $V$ のテンソル積表現 $W\otimes V$（$g\in G$ は $g\cdot (w\otimes v)=gw\otimes gv$ と作用する）において、既約表現 $V$ が現れる重複度 ${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{Hom}}_G(V,W\otimes V)$ を求めよ。

$S_5$ を $5$ 次対称群とし、$S_5$ が ${\mathbb{C}}^5$ に座標の置換で作用する表現を $P$ とする。$P$ の部分表現
$$V=\{(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{C}}^5\mid x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\}$$
を考える（$\dim V=4$）。$4$ 重テンソル積 $V^{\otimes 4}=V\otimes V\otimes V\otimes V$（$S_5$ は各成分に同時に作用する）を既約分解したとき、自明表現が現れる重複度 ${\dim }_{\mathbb{C}}(V^{\otimes 4}{)}^{S_5}$ を求めよ。

$n\ge 3$ を奇数とし、位数 $2n$ の二面体群
$$G=D_n=⟨r,s\mid r^n=s^2=1,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
を考える。部分群 $H=\{1,s\}$ の $1$ 次元複素表現 $\epsilon$ を $\epsilon (s)=-1$ で定め、誘導表現を $V={\mathrm{Ind}}_H^G\epsilon$（$n$ 次元の $G$ の複素表現）とおく。テンソル積表現 $V\otimes V$（$G$ は対角的に作用する）について、$G$ 準同型全体のなす複素ベクトル空間
$${\mathrm{End}}_G(V\otimes V)$$
の次元を $n$ の式で表せ。

$G$ を
$$G=⟨a,b\mid a^7=b^3=1,ba{b}^{-1}=a^2⟩$$
で定まる位数 $21$ の群とする。$G$ の $3$ 次元の複素既約表現 $V$ を $1$ つとる（このような表現は存在する）。$G$ の表現 $V\otimes V$（$G$ は $g\cdot (v\otimes w)=gv\otimes gw$ で作用する）について、$G$ 準同型全体のなす複素ベクトル空間
$${\mathrm{End}}_G(V\otimes V)$$
の次元を求めよ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の $5$ 次交代群とし、$\sigma =(12345)\in G$ が生成する位数 $5$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$\zeta =e^{2\pi i/5}$ とおき、$H$ の $1$ 次元複素表現 $\chi$ を $\chi (\sigma )=\zeta$ で定め、その誘導表現を ${\mathrm{Ind}}_H^G\chi$ とする。また、$G$ が ${\mathbb{C}}^5$ に座標の置換で作用する表現の部分表現
$$W=\{(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{C}}^5\mid x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\}$$
を考え、$W^{\otimes 3}=W\otimes W\otimes W$ に $G$ を対角的に作用させる。このとき
$${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{Hom}}_G\left({\mathrm{Ind}}_H^G\chi ,W^{\otimes 3}\right)$$
を求めよ。