表現論の問題

方法 1: 置換表現の軌道の数え上げ. $P=1\oplus V$（$1$ は自明表現）である。二項展開すると
$$P^{\otimes 4}\cong 1\oplus 4V\oplus 6V^{\otimes 2}\oplus 4V^{\otimes 3}\oplus V^{\otimes 4}.$$
自明表現の重複度を $m(W)=\dim W^{S_5}$ と書く。

• $P^{\otimes 4}$ は集合 $X=\{1,\dots ,5{\}}^4$ 上の置換表現なので、$m(P^{\otimes 4})$ は $S_5$ の $X$ 上の軌道の個数に等しい。$(i_1,i_2,i_3,i_4)$ の軌道は「どの成分どうしが等しいか」という $\{1,2,3,4\}$ の集合分割で決まり、ブロック数は $4\le 5$ なのですべての集合分割が実現する。よって軌道数はベル数 $B_4=15$。
• $m(P^{\otimes k})$ は同様に $B_k$ で、$B_1=1,B_2=2,B_3=5$。$m(V)=0$ だから、$m(P^{\otimes 2})=1+2m(V)+m(V^{\otimes 2})$ より $m(V^{\otimes 2})=1$、$m(P^{\otimes 3})=1+3\cdot 0+3\cdot 1+m(V^{\otimes 3})$ より $m(V^{\otimes 3})=1$。

したがって
$$15=1+4\cdot 0+6\cdot 1+4\cdot 1+m(V^{\otimes 4})$$
より $m(V^{\otimes 4})=4$。

方法 2: 指標による検算. ${\chi }_V(g)$ は、$g$ の固定点の数から $1$ を引いたものである（${\chi }_P(g)$ が固定点の数で、${\chi }_P=1+{\chi }_V$ だから）。$S_5$ の共役類ごとに

自明表現の重複度は $⟨{\chi }_V^4,1⟩=\frac{1}{120}{\sum }_g{\chi }_V(g{)}^4$ なので
$$\frac{256+160+0+20+20+0+24}{120}=\frac{480}{120}=4.$$

以上より答えは $4$ である。

指標の直交関係より $\dim (V^{\otimes 4}{)}^{S_5}=\frac{1}{|S_5|}{\sum }_{g\in S_5}{\chi }_V(g{)}^4$。$P=V\oplus 1$ なので ${\chi }_V(g)=\mathrm{fix}(g)-1$ である。共役類ごとに計算する。

• 単位元（1 個）: fix$=5$, ${\chi }_V=4$, ${\chi }_V^4=256$ → 寄与 $256$
• 互換 型 $(2,1^3)$（10 個）: fix$=3$, ${\chi }_V=2$, ${\chi }_V^4=16$ → 寄与 $160$
• 型 $(2,2,1)$（15 個）: fix$=1$, ${\chi }_V=0$ → 寄与 $0$
• 型 $(3,1,1)$（20 個）: fix$=2$, ${\chi }_V=1$ → 寄与 $20$
• 型 $(3,2)$（20 個）: fix$=0$, ${\chi }_V=-1$ → 寄与 $20$
• 型 $(4,1)$（30 個）: fix$=1$, ${\chi }_V=0$ → 寄与 $0$
• 型 $(5)$（24 個）: fix$=0$, ${\chi }_V=-1$ → 寄与 $24$

個数の合計は $1+10+15+20+20+30+24=120$ で一致する。和は $256+160+0+20+20+0+24=480$。よって $480/120=4$。

検算: $V$ は標準表現で $V\otimes V$ の自明表現は 1 個、$\dim {\mathrm{End}}_{S_5}(V\otimes V)=⟨{\chi }_V^4,1⟩$ と同じ量であり、$V\otimes V=1\oplus V\oplus S^{(3,2)}\oplus S^{(3,1,1)}$（次元 $1+4+5+6=16$）と分解されるので、相異なる 4 つの既約成分が重複度 1 で現れ、$\sum m_i^2=4$ となり一致する。