置換表現と軌道の数

$G$ が有限集合 $X$ に作用するときの置換表現 $C [X]$ について、 $dim End_{G} (C [X]) = ⟨ χ, χ ⟩$ を $X \times X$ の $G$ 軌道の個数として求められる。共役表現 $C [G]$ では、任意の組 $(g, h)$ （可換とは限らない）の $G$ による同時共役の軌道の数、すなわち固定点数 $∣ C_{G} (g) ∣$ を使った $\frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g} ∣ C_{G} (g) ∣^{2}$ として求められる（例: $S_{4}$ で $43$ ）

前提

指標の直交関係と重複度（大学院数学表現論）
バーンサイドの補題（大学数学離散数学・組合せ論）

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算数中学高校大学大学院

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バーンサイドの補題（大学数学離散数学・組合せ論）

説明

有限群 $G$ が有限集合 $X$ に作用しているとき、 $X$ の元を基底とする置換表現 $C [X]$ について、 $dim End_{G} (C [X]) = ⟨ χ, χ ⟩$ （既約成分の重複度の 2 乗和）を、「 $X \times X$ を $G$ で同時に動かしたときの軌道の個数」として数える技能です。指標を細かく計算しなくても、組 $(x, y)$ の「相対的な位置関係」が何種類あるかを数えるだけで答えが出ます。逆に、軌道の数が数えにくいときは、各元の固定点の個数から $\frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g} ∣ Fix (g) ∣^{2}$ として計算できます。 $G$ が自分自身に共役で作用する場合には、これが $\frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g} ∣ C_{G} (g) ∣^{2}$ になります（ $C_{G} (g) = {x \in G : xg = g x}$ は $g$ の中心化群）。

なぜそうしてよいのか

$C [X]$ は $X$ の元 $x$ に対応する基底 $e_{x}$ をもつ $∣ X ∣$ 次元の空間で、 $g \in G$ は $g e_{x} = e_{g x}$ と基底を並べ替えるように作用します。 $g$ の表現行列は置換行列で、対角成分が $1$ になるのは $g x = x$ のときだけなので、指標は $χ (g) = ∣ Fix (g) ∣$ （ $g$ が動かさない $X$ の元の個数）です。この値は $0$ 以上の整数で実数なので、前提の技能から
$dim End_{G} (C [X]) = ⟨ χ, χ ⟩ = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum ∣ Fix (g) ∣^{2} .$
ここで $∣ Fix (g) ∣^{2}$ は、 $g x = x$ かつ $g y = y$ をみたす組 $(x, y)$ の個数、すなわち $X \times X$ への作用 $g (x, y) = (g x, g y)$ における $g$ の固定点の個数です。したがってバーンサイドの補題により、右辺は $X \times X$ の $G$ 軌道の個数に等しくなります。

同じことは直接も確かめられます。線形写像 $A : C [X] \to C [X]$ を行列 $(a_{x y})$ （ $A e_{y} = \sum_{x} a_{x y} e_{x}$ ）で表すと、 $A$ が $G$ の作用と可換であることは、すべての $g, x, y$ について $a_{g x, g y} = a_{x y}$ であることと同値です。つまり $G$ と可換な行列とは「 $X \times X$ の各軌道の上で値が一定な行列」のことで、軌道ごとに値を 1 つずつ自由に選べるので、その空間の次元は軌道の個数です。

特に $G$ が $X = G$ に共役 $g \cdot x = g x g^{- 1}$ で作用するとき（共役表現）、 $Fix (g) = C_{G} (g)$ なので、 $dim End_{G} (C [G]) = \frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g} ∣ C_{G} (g) ∣^{2}$ で、これは組 $(x, y) \in G \times G$ を同時共役 $(g x g^{- 1}, g y g^{- 1})$ で動かしたときの軌道の数です（ $x, y$ は可換でなくてよい）。 $g$ の共役類の大きさは $∣ G ∣/∣ C_{G} (g) ∣$ なので、和を共役類ごとにまとめると「各共役類の代表元 $g_{c}$ についての $∣ C_{G} (g_{c}) ∣$ の和」にもなります。

手順

作用している集合 $X$ と群 $G$ を確認し、 $X \times X$ への作用 $g (x, y) = (g x, g y)$ を考える
組 $(x, y)$ の、 $G$ で保たれる関係（等しい・何個の文字を共有するか、など）で $X \times X$ を分類し、軌道の個数を数える
検算または別解として、共役類ごとに固定点の個数 $χ (g) = ∣ Fix (g) ∣$ を求め、 $\frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g} χ (g)^{2}$ （類の大きさを掛けて足す）を計算する
共役表現 $C [G]$ の場合は $χ (g) = ∣ C_{G} (g) ∣$ を使い、 $\frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g} ∣ C_{G} (g) ∣^{2} = \sum_{共役類} ∣ C_{G} (g_{c}) ∣$ を計算する
2 つの方法の値が一致することを確かめ、それを $dim End_{G} (C [X])$ とする

例題

対称群 $S_{4}$ が、 ${1, 2, 3, 4}$ の 2 元部分集合全体の集合 $X$ （ $∣ X ∣ = 6$ ）に自然に作用している。置換表現 $C [X]$ について $dim End_{S_{4}} (C [X])$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $X \times X$ の元は 2 元部分集合の組 $(A, B)$ で、 $S_{4}$ は $(σ A, σ B)$ と同時に動かす。

【手順 2】置換は共通部分の個数 $∣ A \cap B ∣$ を変えないので、組は $∣ A \cap B ∣ = 2$ （ $A = B$ ）、 $∣ A \cap B ∣ = 1$ 、 $∣ A \cap B ∣ = 0$ の 3 種類に分かれる。逆に、同じ種類の 2 組は適当な置換で移り合う（例えば $∣ A \cap B ∣ = 1$ なら $A = {a, b}$ 、 $B = {a, c}$ と書けて、 $a \mapsto 1, b \mapsto 2, c \mapsto 3$ となる置換で $({1, 2}, {1, 3})$ に移る。他の種類も同様）。よって軌道は $3$ 個。

【手順 3】検算する。 $S_{4}$ の共役類と、固定される 2 元部分集合の個数は次のとおり。
- 単位元（1 個）: $6$
- 互換、例えば $(12)$ （6 個）: ${1, 2}, {3, 4}$ の $2$
- 互換 2 つの積、例えば $(12) (34)$ （3 個）: ${1, 2}, {3, 4}$ の $2$
- 長さ 3 の巡回置換（8 個）: $0$
- 長さ 4 の巡回置換、例えば $(1234)$ （6 個）: ${1, 3} \mapsto {2, 4}$ などすべて動くので $0$
$\frac{1}{24} (1 \cdot 6^{2} + 6 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 0^{2} + 6 \cdot 0^{2}) = \frac{36 + 24 + 12}{24} = 3.$

【手順 5】2 つの方法が一致するので、 $dim End_{S_{4}} (C [X]) = 3$ 。

答え: $3$

よくある誤り

$dim End_{G} (C [X])$ を $X$ そのものの軌道の個数 $\frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g} ∣ Fix (g) ∣$ としてしまう誤り。それは $⟨ χ, 1 ⟩$ （自明表現の重複度）で、上の例では $\frac{1}{24} (6 + 12 + 6) = 1$ 。正しくは 2 乗の平均 $\frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g} ∣ Fix (g) ∣^{2} = 3$ で、 $X \times X$ の軌道を数える
$X \times X$ の軌道を数えるとき、対角成分 ${(x, x)}$ からなる軌道を数え忘れる誤り。 $S_{4}$ の ${1, 2, 3, 4}$ への自然な作用では、軌道は ${(x, x)}$ と ${(x, y) : x \neq = y}$ の $2$ 個で、 $1$ 個ではない
共役表現で、固定点の個数を共役類の大きさと取り違える誤り。 $g$ が共役作用で固定する元は $g$ と可換な元なので $∣ Fix (g) ∣ = ∣ C_{G} (g) ∣$ で、類の大きさは $∣ G ∣/∣ C_{G} (g) ∣$ 。 $S_{3}$ では $\frac{1}{6} (1 \cdot 6^{2} + 3 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 3^{2}) = \frac{66}{6} = 11$ が正しい値
共役表現の軌道を、可換な組 $(x, y)$ （ $x y = y x$ ）だけで数えてしまう誤り。可換な組の個数は $\sum_{g} ∣ C_{G} (g) ∣$ で、それを $∣ G ∣$ で割った値は共役類の個数（ $S_{3}$ なら $18/6 = 3$ ）にすぎない。 $dim End_{G} (C [G])$ はすべての組 $(x, y)$ の同時共役の軌道の数で、 $S_{3}$ では $11$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$G = S_{4}$ を $4$ 次対称群とし、 $X$ を集合 ${1, 2, 3, 4}$ のちょうど $2$ 個の元からなる部分集合全体（ $∣ X ∣ = 6$ ）とする。 $G$ は $g \cdot A = g (A)$ によって $X$ に作用する。この作用から得られる置換表現 $C [X]$ （基底 ${e_{A} ∣ A \in X}$ に $g \cdot e_{A} = e_{g (A)}$ で作用する複素表現）について、 $dim_{C} End_{G} (C [X])$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

分子振動の既約表現への分解（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））