表現論の問題

$S_5$ を $5$ 次対称群とし、$S_5$ が ${\mathbb{C}}^5$ に座標の置換で作用する表現を $P$ とする。$P$ の部分表現
$$V=\{(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{C}}^5\mid x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\}$$
を考える（$\dim V=4$）。$4$ 重テンソル積 $V^{\otimes 4}=V\otimes V\otimes V\otimes V$（$S_5$ は各成分に同時に作用する）を既約分解したとき、自明表現が現れる重複度 ${\dim }_{\mathbb{C}}(V^{\otimes 4}{)}^{S_5}$ を求めよ。

4 次対称群 $S_4$ は ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する。その部分空間
$$V=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in {\mathbb{C}}^4\mid v_1+v_2+v_3+v_4=0\}$$
は $S_4$ の 3 次元の既約表現である。テンソル積表現 $V\otimes V$ について、$S_4$ 準同型全体のなす空間
$${\mathrm{End}}_{S_4}(V\otimes V)=\{f:V\otimes V\to V\otimes V\mid f\text{ は線形で }f(\sigma w)=\sigma f(w)(\sigma \in S_4,w\in V\otimes V)\}$$
の $\mathbb{C}$ 上の次元を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$\sigma =(1234)$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$H$ の $1$ 次元複素表現 $\psi$ を $\psi ({\sigma }^k)=i^k$（$k=0,1,2,3$、$i$ は虚数単位）で定める。また、$G$ が ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する表現の指標を $\pi$ とし、$\chi =\pi -1$（$\chi (g)=(g\text{ の固定点の個数})-1$）を $G$ の $3$ 次元既約表現の指標とする。誘導表現 ${\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ における、指標 $\chi$ をもつ既約表現の重複度 $⟨{\mathrm{Ind}}_H^G\psi ,\chi {⟩}_G$ を求めよ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の $5$ 次交代群とし、$\sigma =(12345)\in G$ が生成する位数 $5$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$\zeta =e^{2\pi i/5}$ とおき、$H$ の $1$ 次元複素表現 $\chi$ を $\chi (\sigma )=\zeta$ で定め、その誘導表現を ${\mathrm{Ind}}_H^G\chi$ とする。また、$G$ が ${\mathbb{C}}^5$ に座標の置換で作用する表現の部分表現
$$W=\{(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{C}}^5\mid x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\}$$
を考え、$W^{\otimes 3}=W\otimes W\otimes W$ に $G$ を対角的に作用させる。このとき
$${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{Hom}}_G\left({\mathrm{Ind}}_H^G\chi ,W^{\otimes 3}\right)$$
を求めよ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の $5$ 次交代群とし、$\sigma =(12345)$ とする。$H=N_G(⟨\sigma ⟩)$ を $\sigma$ が生成する巡回部分群の $G$ における正規化群とする（$H$ は位数 $10$ の二面体群で、$⟨\sigma ⟩$ を指数 $2$ の部分群として含む）。$\epsilon :H\to \{\pm 1\}\subset {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$⟨\sigma ⟩$ 上で $1$、$H\setminus ⟨\sigma ⟩$ 上で $-1$ をとる $1$ 次元表現とし、
$$U={\mathrm{Ind}}_H^G\epsilon$$
とおく（$\dim U=6$）。$G$ の $5$ 次元の複素既約表現を $W$ とする（$A_5$ の $5$ 次元既約表現は同型を除いてただ $1$ つである）。$G$ の表現 $U\otimes U$ における $W$ の重複度、すなわち $\dim {\mathrm{Hom}}_G(W,U\otimes U)$ を求めよ。