表現論の問題

$A_5$ の共役類と $W$ の指標

$A_5$ の共役類は、単位元 $e$（$1$ 個）、$(12)(34)$ 型（$15$ 個）、$3$ サイクル（$20$ 個）、$5$ サイクルの $2$ つの類 $5A\ni \sigma$, $5B\ni {\sigma }^2$（各 $12$ 個）である。${\sigma }^{-1}={\sigma }^4$ は $\sigma$ と共役（$5A$）、${\sigma }^2,{\sigma }^3$ は $5B$ に属する。各類の代表の中心化群の位数は順に $60,4,3,5,5$ である。

$W$ の指標 ${\chi }_W$ は、$A_5$ が $6$ 個のシロー $5$-部分群に共役で作用する置換表現から自明表現を除いたものとして得られる。置換指標（固定点の個数）は順に $(6,2,0,1,1)$ なので、
$${\chi }_W=(5,1,-1,0,0)$$
である（$⟨{\chi }_W,{\chi }_W⟩=\frac{1}{60}(25+15+20)=1$ で既約と確かめられる）。

誘導指標 ${\chi }_U$

誘導指標の公式 ${\chi }_U(g)=\frac{|C_G(g)|}{|H|}\sum _{h\in \mathrm{cl}(g)\cap H}\epsilon (h)$ を使う。$H$ の元は、$e$、回転 $\sigma ,{\sigma }^2,{\sigma }^3,{\sigma }^4$、および $H\setminus ⟨\sigma ⟩$ の $5$ 個の位数 $2$ の元（たとえば $(25)(34)$。$A_5$ の位数 $2$ の元なので $(12)(34)$ 型）である。

• $g=e$: ${\chi }_U(e)=[G:H]=6$
• $g=(12)(34)$ 型: $\mathrm{cl}(g)\cap H$ は位数 $2$ の元 $5$ 個で $\epsilon =-1$。${\chi }_U(g)=\frac{4}{10}\cdot (-5)=-2$
• $3$ サイクル: $H$ に位数 $3$ の元はないので ${\chi }_U=0$
• $5A$: $\mathrm{cl}(\sigma )\cap H=\{\sigma ,{\sigma }^4\}$ で $\epsilon =1$。${\chi }_U=\frac{5}{10}\cdot 2=1$
• $5B$: 同様に $\{{\sigma }^2,{\sigma }^3\}$ で ${\chi }_U=1$

よって ${\chi }_U=(6,-2,0,1,1)$。

テンソル積と重複度

テンソル積の指標は指標の積なので
$${\chi }_{U\otimes U}={\chi }_U^2=(36,4,0,1,1).$$
$W$ の重複度は指標の内積で
$$⟨{\chi }_U^2,{\chi }_W⟩=\frac{1}{60}\left(1\cdot 36\cdot 5+15\cdot 4\cdot 1+20\cdot 0\cdot (-1)+12\cdot 1\cdot 0+12\cdot 1\cdot 0\right)=\frac{180+60}{60}=4.$$

（別解: $3$ 次元既約表現 $V_3,V_3^{\prime }$ の指標は $(3,-1,0,\phi ,1-\phi )$, $(3,-1,0,1-\phi ,\phi )$（$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）であり、${\chi }_U={\chi }_{V_3}+{\chi }_{V_3^{\prime }}$、すなわち $U\cong V_3\oplus V_3^{\prime }$。したがって
$$U\otimes U\cong (V_3\otimes V_3)\oplus (V_3^{\prime }\otimes V_3^{\prime })\oplus (V_3\otimes V_3^{\prime })\oplus (V_3^{\prime }\otimes V_3).$$
ここで $V_3\otimes V_3\cong 1\oplus V_3\oplus W$, $V_3^{\prime }\otimes V_3^{\prime }\cong 1\oplus V_3^{\prime }\oplus W$, $V_3\otimes V_3^{\prime }\cong V_3^{\prime }\otimes V_3\cong V_4\oplus W$ である。よって $W$ の重複度は、$V_3\otimes V_3$ から $1$、$V_3^{\prime }\otimes V_3^{\prime }$ から $1$、交差項 $2$ つから $2$ で、$1+1+2=4$ となり一致する。）

答えは $4$ である。

$A_5$ の共役類は、単位元(1個)、$(12)(34)$型(15個、中心化群の位数4)、3-巡回(20個)、5-巡回の2類 5A, 5B(各12個、中心化群の位数5)。

誘導指標: $U(g)=\frac{|C_G(g)|}{|H|}{\sum }_{h\in H\cap \mathrm{cl}(g)}\epsilon (h)$。
$H=D_5$ は単位元、5-巡回 ${\sigma }^{\pm 1},{\sigma }^{\pm 2}$、$\sigma$ を逆にする対合 5 個($(12)(34)$型)からなる。
- $g=1$: $U(1)=6$
- $(12)(34)$型: $\frac{4}{10}\cdot (-5)=-2$
- 3-巡回: $H$ に含まれないので $0$
- 5A: $\sigma ,{\sigma }^{-1}$ が同じ類(対合で共役)なので $\frac{5}{10}\cdot 2=1$。5B(${\sigma }^{\pm 2}$)も同様に $1$。

よって $U$ の指標は $(6,-2,0,1,1)$。ノルムは $(36+15\cdot 4+12+12)/60=2$ で、3次元既約表現2つの和 ${\chi }_3+{\chi }_3^{\prime }$ と一致する(指標 $(3,-1,0,\phi ,{\phi }^{\prime })+(3,-1,0,{\phi }^{\prime },\phi )=(6,-2,0,1,1)$)。

$U\otimes U$ の指標は $(36,4,0,1,1)$。5次元既約指標 ${\chi }_5=(5,1,-1,0,0)$ との内積:
$$\frac{1}{60}(36\cdot 5+15\cdot 4\cdot 1+20\cdot 0\cdot (-1)+12\cdot 1\cdot 0+12\cdot 1\cdot 0)=\frac{180+60}{60}=4.$$

検算: $({\chi }_3+{\chi }_3^{\prime }{)}^{\otimes 2}={\chi }_3^2+2{\chi }_3{\chi }_3^{\prime }+{\chi }_3^{\prime 2}$。${\chi }_3^2=1+{\chi }_3+{\chi }_5$、${\chi }_3^{\prime 2}=1+{\chi }_3^{\prime }+{\chi }_5$、${\chi }_3{\chi }_3^{\prime }={\chi }_4+{\chi }_5$ なので、${\chi }_5$ の重複度は $1+1+2=4$。一致する。