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表現論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学表現論

$G$ を
$G = ⟨ a, b ∣ a^{7} = b^{3} = 1, ba b^{- 1} = a^{2} ⟩$
で定まる位数 $21$ の群とする。 $G$ の $3$ 次元の複素既約表現 $V$ を $1$ つとる（このような表現は存在する）。 $G$ の表現 $V \otimes V$ （ $G$ は $g \cdot (v \otimes w) = g v \otimes g w$ で作用する）について、 $G$ 準同型全体のなす複素ベクトル空間
$End_{G} (V \otimes V)$
の次元を求めよ。

この問題で使うもの

指標の直交関係と重複度（説明と入口の問題）
群の表現と指標（説明と入口の問題）
指標表の作成（説明と入口の問題）
テンソル積・対称積・交代積の分解（説明と入口の問題）
誘導表現とフロベニウスの相互律（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（73 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$dim End_{G} (W)$ は $W$ の指標 $χ_{W}$ を用いて $⟨ χ_{W}, χ_{W} ⟩$ と表せる。まず $G$ の共役類と $3$ 次元既約表現の指標を求めよう。

ヒント 2

$V$ の指標を $χ$ とすると $V \otimes V$ の指標は $χ^{2}$ なので、求める次元は $\frac{1}{21} \sum_{g} ∣ χ (g) ∣^{4}$ 。 $3$ 次元既約表現は $⟨ a ⟩$ の非自明な $1$ 次元表現からの誘導表現として得られる。

ヒント 3

共役類は ${1}, {a, a^{2}, a^{4}}, {a^{3}, a^{5}, a^{6}}, b N, b^{2} N$ （大きさ $1, 3, 3, 7, 7$ ）。 $χ (a) = ζ + ζ^{2} + ζ^{4} = \frac{- 1 + - 7}{2}$ などで、 $∣ χ (a) ∣^{2} = 2$ 、 $N$ の外では $χ = 0$ 。

答えと解説

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5

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解説を読む

共役類. $N = ⟨ a ⟩$ は位数 $7$ の正規部分群で、 $ba b^{- 1} = a^{2}$ より $a \sim a^{2} \sim a^{4}$ 、同様に $a^{3} \sim a^{6} \sim a^{5}$ である。また $b^{- 1} ab = a^{4}$ だから $a^{i} b a^{- i} = b (b^{- 1} a^{i} b) a^{- i} = b a^{4 i - i} = b a^{3 i}$ となり、 $i$ を動かすと剰余類 $b N$ 全体が $b$ と共役になる。同様に $b^{2} N$ も $1$ つの共役類である。よって共役類は
${1}, {a, a^{2}, a^{4}}, {a^{3}, a^{5}, a^{6}}, b N, b^{2} N$
の $5$ 個（大きさ $1, 3, 3, 7, 7$ ）であり、既約表現も $5$ 個ある。

既約表現の次元. $G / N ≅ Z /3$ かつ $[G, G] \supseteq {a^{- 1} \cdot ba b^{- 1}} = {a}$ より $[G, G] = N$ なので、 $1$ 次元表現はちょうど $3$ 個。残り $2$ 個の次元 $d_{4}, d_{5}$ は $21 = 3 + d_{4}^{2} + d_{5}^{2}$ を満たし、 $d_{i} ∣ 21$ から $d_{4} = d_{5} = 3$ 。

$3$ 次元既約表現の指標. $ζ = e^{2 π i /7}$ とし、 $N$ の指標 $a \mapsto ζ$ を $G$ に誘導した表現の指標を $ψ$ とする。 $N$ は正規なので誘導指標は $N$ の外で $0$ 、 $N$ 上では
$ψ (a) = ζ + ζ^{2} + ζ^{4} = \frac{- 1 + - 7}{2}, ψ (a^{3}) = ζ^{3} + ζ^{6} + ζ^{5} = \frac{- 1 - - 7}{2}$
となる。 $⟨ ψ, ψ ⟩ = \frac{1}{21} (9 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2) = 1$ （ $∣ ψ (a) ∣^{2} = \frac{1 + 7}{4} = 2$ ）より $ψ$ は既約。 $a \mapsto ζ^{3}$ から誘導したものが $ψ ˉ$ で、 $V$ の指標 $χ$ は $ψ$ か $ψ ˉ$ のどちらかである。いずれの場合も $∣ χ (g) ∣$ の値は
$∣ χ (1) ∣ = 3, ∣ χ ∣ = 2 (位数 7 の元), χ = 0 (b N, b^{2} N)$

次元の計算. $V \otimes V$ の指標は $χ^{2}$ であり、
$dim End_{G} (V \otimes V) = ⟨ χ^{2}, χ^{2} ⟩ = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum ∣ χ (g) ∣^{4} .$
これを計算すると
$\frac{1}{21} (3^{4} + 3 \cdot (2)^{4} + 3 \cdot (2)^{4} + 14 \cdot 0) = \frac{81 + 12 + 12}{21} = \frac{105}{21} = 5.$

（参考：実際に重複度を計算すると $ψ \otimes ψ ≅ ψ \oplus 2 ψ ˉ$ となり、 $1^{2} + 2^{2} = 5$ と一致する。）

よって答えは $5$ 。

別解

$G$ は位数 $21$ の非可換群 $Z /7 ⋊ Z /3$ である。 $dim End_{G} (V \otimes V) = ⟨ χ_{V}^{2}, χ_{V}^{2} ⟩ = \frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g} ∣ χ_{V} (g) ∣^{4}$ で求める。

$V$ の指標 $χ_{V}$ の値は次のとおり。
- 単位元: $χ_{V} (1) = 3$ 。よって $∣ χ_{V} (1) ∣^{4} = 81$ 。
- 位数 $7$ の元（ $6$ 個）: $χ_{V} = \frac{- 1 \pm - 7}{2}$ 。 $∣ χ_{V} ∣^{2} = \frac{1 + 7}{4} = 2$ なので $∣ χ_{V} ∣^{4} = 4$ 。この寄与は $6 \times 4 = 24$ 。
- 位数 $3$ の元（ $14$ 個）: $χ_{V} = 0$ 。寄与は $0$ 。

合計は $81 + 24 + 0 = 105$ であり、 $105/21 = 5$ となる。

検算: $Λ^{2} V ≅ V ˉ$ （ $det$ が自明なため）。 $Sym^{2} V$ は $V$ と $3$ つの $1$ 次元表現の和と考えられる。このとき重複度の二乗和は $1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$ となり、上の値と一致する。

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