表現論の問題

$S_5$ を $5$ 次対称群とし、$S_5$ が ${\mathbb{C}}^5$ に座標の置換で作用する表現を $P$ とする。$P$ の部分表現
$$V=\{(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{C}}^5\mid x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\}$$
を考える（$\dim V=4$）。$4$ 重テンソル積 $V^{\otimes 4}=V\otimes V\otimes V\otimes V$（$S_5$ は各成分に同時に作用する）を既約分解したとき、自明表現が現れる重複度 ${\dim }_{\mathbb{C}}(V^{\otimes 4}{)}^{S_5}$ を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$V$ を $G$ の $3$ 次元標準表現、すなわち $G$ が ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する表現の部分表現
$$V=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in {\mathbb{C}}^4\mid v_1+v_2+v_3+v_4=0\}$$
とする。$\sigma =(1234)\in G$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とし、$\psi :H\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を $\psi (\sigma )=i$（$i$ は虚数単位）で定まる $1$ 次元表現とする。誘導表現 $W={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ と $V$ のテンソル積表現 $W\otimes V$（$g\in G$ は $g\cdot (w\otimes v)=gw\otimes gv$ と作用する）において、既約表現 $V$ が現れる重複度 ${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{Hom}}_G(V,W\otimes V)$ を求めよ。

4 次対称群 $S_4$ は ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する。その部分空間
$$V=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in {\mathbb{C}}^4\mid v_1+v_2+v_3+v_4=0\}$$
は $S_4$ の 3 次元の既約表現である。テンソル積表現 $V\otimes V$ について、$S_4$ 準同型全体のなす空間
$${\mathrm{End}}_{S_4}(V\otimes V)=\{f:V\otimes V\to V\otimes V\mid f\text{ は線形で }f(\sigma w)=\sigma f(w)(\sigma \in S_4,w\in V\otimes V)\}$$
の $\mathbb{C}$ 上の次元を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$\sigma =(1234)$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$H$ の $1$ 次元複素表現 $\psi$ を $\psi ({\sigma }^k)=i^k$（$k=0,1,2,3$、$i$ は虚数単位）で定める。また、$G$ が ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する表現の指標を $\pi$ とし、$\chi =\pi -1$（$\chi (g)=(g\text{ の固定点の個数})-1$）を $G$ の $3$ 次元既約表現の指標とする。誘導表現 ${\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ における、指標 $\chi$ をもつ既約表現の重複度 $⟨{\mathrm{Ind}}_H^G\psi ,\chi {⟩}_G$ を求めよ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の 5 次交代群とし、$H\subset G$ を $5$ を固定する元全体のなす部分群（$H\cong A_4$）とする。$H$ の正規部分群 $K=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ による商 $H/K$ は位数 $3$ の巡回群であり、$\omega =e^{2\pi i/3}$ とおく。$H$ の 1 次元表現 $\psi :H\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$K$ 上で $1$、$\psi ((123))=\omega$ となるものとする。

誘導表現 $U={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ に対し、$G$ の表現としての自己準同型環の次元
$${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{End}}_G(U\otimes U)$$
を求めよ。ここで $U\otimes U$ には $G$ が対角的に作用する。