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表現論の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学表現論

$G = A_{5}$ を ${1, 2, 3, 4, 5}$ 上の 5 次交代群とし、 $H \subset G$ を $5$ を固定する元全体のなす部分群（ $H ≅ A_{4}$ ）とする。 $H$ の正規部分群 $K = {e, (12) (34), (13) (24), (14) (23)}$ による商 $H / K$ は位数 $3$ の巡回群であり、 $ω = e^{2 π i /3}$ とおく。 $H$ の 1 次元表現 $ψ : H \to C^{\times}$ を、 $K$ 上で $1$ 、 $ψ ((123)) = ω$ となるものとする。

誘導表現 $U = Ind_{H}^{G} ψ$ に対し、 $G$ の表現としての自己準同型環の次元
$dim_{C} End_{G} (U \otimes U)$
を求めよ。ここで $U \otimes U$ には $G$ が対角的に作用する。

この問題で使うもの

誘導表現とフロベニウスの相互律（説明と入口の問題）
テンソル積・対称積・交代積の分解（説明と入口の問題）
指標の直交関係と重複度（説明と入口の問題）
群の表現と指標（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず誘導指標の公式（またはフロベニウスの相互律）で $U$ の指標を $A_{5}$ の 5 つの共役類上で求めます。次に、 $dim End_{G} (W)$ が指標の内積 $⟨ χ_{W}, χ_{W} ⟩$ に等しいことを使います。

ヒント 2

$Ind_{H}^{G} ψ (g) = \frac{∣ C _{G} ( g ) ∣}{∣ H ∣} \sum_{h \in H \cap cl (g)} ψ (h)$ 。 $H ≅ A_{4}$ の 8 個の 3-巡回置換では、 $ψ$ の値は $ω$ が 4 個、 $ω^{2}$ が 4 個です。

ヒント 3

$χ_{U} = (5, 1, - 1, 0, 0)$ （類 $e$ , 二重互換, 3-巡回, 5-巡回 2 類の順）となり、 $U \otimes U$ の指標は $(25, 1, 1, 0, 0)$ です。あとは $\frac{1}{60} \sum ∣ C ∣ ∣ χ_{U \otimes U} ∣^{2}$ を計算します。

答えと解説

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解説を読む

$A_{5}$ の共役類

$A_{5}$ の共役類は、 $e$ （1 個）、 $(12) (34)$ 型（15 個）、3-巡回置換（20 個）、5-巡回置換 2 類（各 12 個）の 5 つである。中心化群の位数はそれぞれ $60, 4, 3, 5, 5$ 。

誘導指標の計算

誘導指標の公式
$Ind_{H}^{G} ψ (g) = \frac{∣ C _{G} ( g ) ∣}{∣ H ∣} h \in H \cap cl_{G} (g) \sum ψ (h)$
を用いる（ $∣ H ∣ = 12$ ）。
- $g = e$ : $[G : H] = 5$ 。
- $g = (12) (34)$ : $H$ に含まれる共役は $K$ の非単位元 3 個で、 $ψ = 1$ 。よって $\frac{4}{12} \cdot 3 = 1$ 。
- $g$ が 3-巡回置換: $H$ に含まれる 3-巡回置換は 8 個。 $H / K$ の生成元 $(123) K$ の類に 4 個、その逆の類に 4 個が属し、 $ψ$ の値はそれぞれ $ω$ , $ω^{2}$ 。和は $4 (ω + ω^{2}) = - 4$ 。よって $\frac{3}{12} \cdot (- 4) = - 1$ 。
- $g$ が 5-巡回置換: $H$ は 5-巡回置換を含まないので $0$ 。

したがって $χ_{U} = (5, 1, - 1, 0, 0)$ （上の類の順）。

（ $⟨ χ_{U}, χ_{U} ⟩ = \frac{1}{60} (25 + 15 \cdot 1 + 20 \cdot 1) = 1$ なので、 $U$ は $A_{5}$ の 5 次元既約表現である。）

テンソル積の指標

$U \otimes U$ の指標は $χ_{U}^{2} = (25, 1, 1, 0, 0)$ 。

自己準同型環の次元

$U \otimes U ≅ ⨁_{i} V_{i}^{\oplus m_{i}}$ （ $V_{i}$ は相異なる既約表現）と分解すると、シューアの補題より $dim End_{G} (U \otimes U) = \sum_{i} m_{i}^{2} = ⟨ χ_{U}^{2}, χ_{U}^{2} ⟩$ 。よって
$dim End_{G} (U \otimes U) = \frac{1}{60} (1 \cdot 2 5^{2} + 15 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 0 + 12 \cdot 0) = \frac{625 + 15 + 20}{60} = \frac{660}{60} = 11.$

検算（既約分解）

$A_{5}$ の既約指標 $1$ , $χ_{4} = (4, 0, 1, - 1, - 1)$ , $χ_{5} = (5, 1, - 1, 0, 0)$ , $χ_{3} = (3, - 1, 0, τ, 1 - τ)$ , $χ_{3}^{'} = (3, - 1, 0, 1 - τ, τ)$ （ $τ = \frac{1 + 5}{2}$ ）との内積は
- $1$ : $\frac{25 + 15 + 20}{60} = 1$
- $χ_{4}$ : $\frac{100 + 0 + 20}{60} = 2$
- $χ_{5}$ : $\frac{125 + 15 - 20}{60} = 2$
- $χ_{3}$ , $χ_{3}^{'}$ : $\frac{75 - 15}{60} = 1$

で、 $U \otimes U ≅ 1 \oplus 2 V_{4} \oplus 2 V_{5} \oplus V_{3} \oplus V_{3}^{'}$ （次元 $1 + 8 + 10 + 3 + 3 = 25$ ）。 $1^{2} + 2^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 1^{2} = 11$ と一致する。

別解

$U$ は 5 次元で、その指標を $χ$ とおく。 $dim End_{G} (U \otimes U) = ⟨ χ^{2}, χ^{2} ⟩ = \frac{1}{60} \sum_{g \in G} ∣ χ (g) ∣^{4}$ 。

$G / H$ は ${1, \dots, 5}$ と同一視でき、誘導表現の指標は $χ (g) = \sum_{i : g (i) = i} ψ (x_{i}^{- 1} g x_{i})$ （ $x_{i} (5) = i$ となる $x_{i} \in G$ ）で与えられる。

$e$ （1 個）: $χ = 5$ 。
$(12) (34)$ 型（15 個）: 固定点は 1 つで、その点で $K$ の元に共役されるので $ψ = 1$ 。 $χ = 1$ 。
3 サイクル（20 個）: 例えば $g = (123)$ は 4, 5 を固定する。点 5 では $ψ (g) = ω$ 。点 4 では $x = (12) (45) \in G$ で $x^{- 1} g x = (132) = g^{- 1}$ となり $ψ = ω^{2}$ 。よって $χ = ω + ω^{2} = - 1$ 。
5 サイクル（24 個）: 固定点なし。 $χ = 0$ 。

検算: $⟨ χ, χ ⟩ = \frac{1}{60} (25 + 15 \cdot 1 + 20 \cdot 1 + 0) = 1$ なので $U$ は既約（5 次元既約表現）。

よって
$dim End_{G} (U \otimes U) = \frac{1}{60} (5^{4} + 15 \cdot 1^{4} + 20 \cdot (- 1)^{4} + 24 \cdot 0) = \frac{625 + 15 + 20}{60} = \frac{660}{60} = 11$ 。

別の方法での確認: $U \otimes U$ は $Sym^{2} U = 1 + 4 + 5 + 5$ （15 次元）と $Λ^{2} U = 3 + 3^{'} + 4$ （10 次元）に分解し、既約成分の重複度は $1, 3, 3^{'}$ が各 1、 $4$ と $5$ が各 2 なので、重複度の平方和は $1 + 1 + 1 + 4 + 4 = 11$ 。一致する。

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