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表現論の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学表現論

$F_{5}$ を位数 $5$ の有限体とし、 $G = G L_{2} (F_{5})$ （ $F_{5}$ 成分の $2$ 次正則行列全体のなす群、位数 $480$ ）とする。 $G$ の複素既約表現の同型類すべてについて、その次元の総和
$ρ \sum dim ρ$
を求めよ。

この問題で使うもの

有限体上の 2 次一般線形群の既約表現（説明と入口の問題）
既約表現の個数と次元（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $G$ の共役類を有理標準形（固有値の様子）で分類し、既約表現の個数を求めよう。

ヒント 2

既約表現はボレル部分群 $B$ からの誘導表現（主系列）と、 $F_{25}^{\times}$ の指標から作られるカスピダル表現に分かれる。それぞれの次元は $1, q, q + 1, q - 1$ である。

ヒント 3

$q = 5$ では、 $1$ 次元が $4$ 個、 $5$ 次元が $4$ 個、 $6$ 次元が $6$ 個、 $4$ 次元が $10$ 個になる（次元の $2$ 乗和が $480$ になることで確かめられる）。

答えと解説

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100

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解説を読む

$q = 5$ とし、一般の $q$ で $G L_{2} (F_{q})$ の既約表現を分類してから $q = 5$ を代入する。

1. 共役類の個数. 有理標準形により、 $G$ の共役類は次の $4$ 種類に分かれる。
- スカラー行列 $a I$ （ $a \in F_{q}^{\times}$ ）: $q - 1$ 個
- $(a 0 1 a)$ 型（対角化不可能、固有値 $a$ ）: $q - 1$ 個
- $diag (a, b)$ , $a \neq = b$ （順序を区別しない）: $\frac{( q - 1 ) ( q - 2 )}{2}$ 個
- 固有値が $F_{q^{2}} ∖ F_{q}$ の共役な組 ${z, z^{q}}$ : $\frac{q ^{2} - q}{2}$ 個

合計 $q^{2} - 1$ 個なので、既約表現も $q^{2} - 1$ 個ある（ $q = 5$ で $24$ 個）。

2. 既約表現. $B$ を上三角行列のなすボレル部分群とし、 $F_{q}^{\times}$ の指標 $χ_{1}, χ_{2}$ から $B$ の $1$ 次元表現 $(a 0 b d) \mapsto χ_{1} (a) χ_{2} (d)$ を作り、 $G$ に誘導する（ $[G : B] = q + 1$ ）。
- $χ_{1} \neq = χ_{2}$ のとき、マッキーの判定法により誘導表現は既約で、次元 $q + 1$ 。 ${χ_{1}, χ_{2}}$ と ${χ_{2}, χ_{1}}$ が同型を与えるので $\frac{( q - 1 ) ( q - 2 )}{2}$ 個。
- $χ_{1} = χ_{2} = χ$ のとき、誘導表現は $χ \circ det$ （ $1$ 次元）とスタインバーグ表現の $χ$ ひねり（ $q$ 次元）の直和に分かれる。 $1$ 次元が $q - 1$ 個、 $q$ 次元が $q - 1$ 個。
- 残りはカスピダル表現で、 $F_{q^{2}}^{\times}$ の指標 $θ$ で $θ \neq = θ^{q}$ なるものの組 ${θ, θ^{q}}$ に対応し、次元 $q - 1$ 。このような $θ$ は $(q^{2} - 1) - (q - 1) = q^{2} - q$ 個あるので、表現は $\frac{q ^{2} - q}{2}$ 個。

個数の合計は $(q - 1) + (q - 1) + \frac{( q - 1 ) ( q - 2 )}{2} + \frac{q ^{2} - q}{2} = q^{2} - 1$ で共役類の数と一致し、次元の $2$ 乗和も
$(q - 1) \cdot 1 + (q - 1) q^{2} + \frac{( q - 1 ) ( q - 2 )}{2} (q + 1)^{2} + \frac{q ( q - 1 )}{2} (q - 1)^{2}$
で、 $q = 5$ のとき $4 + 100 + 216 + 160 = 480 = ∣ G ∣$ となり、これで既約表現がすべて尽くされていることが確かめられる。

3. 次元の総和. $q = 5$ のとき
- $1$ 次元: $4$ 個 → $4$
- $5$ 次元: $4$ 個 → $20$
- $6$ 次元: $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ 個 → $36$
- $4$ 次元: $\frac{20}{2} = 10$ 個 → $40$

よって総和は $4 + 20 + 36 + 40 = 100$ 。

（参考） $G L_{n} (F_{q})$ の既約表現の次元の総和は、 $G L_{n} (F_{q})$ に属する対称行列の個数に等しいことが知られている。 $2$ 次の対称行列 $(a b b c)$ は $5^{3} = 125$ 個、そのうち $a c = b^{2}$ を満たすものは $b = 0$ のとき $9$ 個、 $b \neq = 0$ のとき $4 \cdot 4 = 16$ 個で、正則なものは $125 - 25 = 100$ 個となり一致する。

答えは $100$ である。

別解

$q = 5$ として $G L_{2} (F_{q})$ の複素既約表現を分類する（共役類の個数は $q^{2} - 1 = 24$ ）。

1 次元表現 $χ \circ det$ : $q - 1 = 4$ 個、次元 $1$
Steinberg 表現のねじり $St \otimes (χ \circ det)$ : $q - 1 = 4$ 個、次元 $q = 5$
主系列表現 $Ind_{B}^{G} (χ_{1} \otimes χ_{2})$ （ $χ_{1} \neq = χ_{2}$ 、順序を無視）: $(2 q - 1) = \frac{( q - 1 ) ( q - 2 )}{2} = 6$ 個、次元 $q + 1 = 6$
カスプ表現（ $F_{q^{2}}^{\times}$ の指標 $θ \neq = θ^{q}$ 、 $θ, θ^{q}$ を同一視）: $\frac{q ( q - 1 )}{2} = 10$ 個、次元 $q - 1 = 4$

確認: 個数は $4 + 4 + 6 + 10 = 24 = q^{2} - 1$ で共役類の個数と一致。次元の 2 乗和は $4 \cdot 1 + 4 \cdot 25 + 6 \cdot 36 + 10 \cdot 16 = 4 + 100 + 216 + 160 = 480 = ∣ G ∣$ で一致。

次元の総和は $4 \cdot 1 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 6 + 10 \cdot 4 = 4 + 20 + 36 + 40 = 100$ 。

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