表現論の問題

手順 1: $G{L}_2({\mathbb{F}}_q)$ の既約表現の分類を思い出す。

$G{L}_2({\mathbb{F}}_q)$ の複素既約表現は次の $4$ 種類に分かれる。

• $1$ 次元表現（$\chi \circ \det$ の形）: 次元 $1$、$q-1$ 個
• スタインバーグ型（$1$ 次元表現とスタインバーグ表現のテンソル積）: 次元 $q$、$q-1$ 個
• 主系列表現: 次元 $q+1$、$\frac{(q-1)(q-2)}{2}$ 個
• 尖点型（カスプ）表現: 次元 $q-1$、$\frac{q(q-1)}{2}$ 個

手順 2: $q=7$ を代入し、次元 $6$ のものを特定する。

$q=7$ のとき、各種類の次元は $1,7,8,6$ で互いに異なる。次元 $6=q-1$ をもつのは尖点型だけである。

手順 3: 個数を数える。

尖点型の個数は
$$\frac{q(q-1)}{2}=\frac{7\cdot 6}{2}=21.$$

確認: 各種類の個数は $6,6,15,21$ で合計 $48=q^2-1$（共役類の個数）。また
$$6\cdot 1^2+6\cdot 7^2+15\cdot 8^2+21\cdot 6^2=6+294+960+756=2016,$$
$$|G|=(7^2-1)(7^2-7)=48\cdot 42=2016$$
で $\sum d_i^2=|G|$ と合う。

よって答えは $21$ である。

$q=7$ として $G{L}_2({\mathbb{F}}_q)$ の複素既約表現を分類する（既知の指標表）。共役類の数は $q^2-1=48$ で、既約表現は次の 4 種類:

1. 1 次元表現 $\chi \circ \det$: $q-1=6$ 個、次元 $1$。
2. Steinberg 表現とのひねり $\mathrm{St}\otimes (\chi \circ \det )$: $q-1=6$ 個、次元 $q=7$。
3. 主系列表現（放物型誘導 ${\mathrm{Ind}}_B^G({\chi }_1\otimes {\chi }_2)$、${\chi }_1\ne {\chi }_2$、順序なしの組）: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{q-1}{2}\right)=15$ 個、次元 $q+1=8$。
4. 尖点表現（${\mathbb{F}}_{q^2}^{\times }$ の指標 $\theta$ で $\theta \ne {\theta }^q$ なるものの Frobenius 共役類）: $\frac{(q^2-1)-(q-1)}{2}=\frac{q(q-1)}{2}=21$ 個、次元 $q-1=6$。

次元がちょうど $6$ になるのは尖点表現のみ（他の次元は $1,7,8$ で $6$ と一致しない）。よって個数は $21$。

検算: 個数の合計 $6+6+15+21=48=q^2-1$（類数と一致）。次元の平方和 $6\cdot 1+6\cdot 49+15\cdot 64+21\cdot 36=6+294+960+756=2016=|G{L}_2({\mathbb{F}}_7)|=(49-1)(49-7)=48\cdot 42=2016$。一致する。