物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）の問題

自由イオンの軌道角運動量 $L=6$ の多重項（$2L+1=13$ 重に縮退）を考える。このイオンを、正八面体の回転対称性をもつ結晶場の中に置く。対称群は八面体回転群 $O$（位数 $24$）とし、スピンとスピン軌道相互作用は無視する。

$O$ の指標表は次のとおりである（類は $E$, $8C_3$, $3C_2(=C_4^2)$, $6C_4$, $6C_2^{\prime }$ の順）。

$$\begin{array}{cccccc}& E& 8C_3& 3C_2& 6C_4& 6C_2^{\prime }\\ A_1& 1& 1& 1& 1& 1\\ A_2& 1& 1& 1& -1& -1\\ E& 2& -1& 2& 0& 0\\ T_1& 3& 0& -1& 1& -1\\ T_2& 3& 0& -1& -1& 1\end{array}$$

回転角 $\phi$ の回転に対する、角運動量 $L$ の $2L+1$ 次元表現 $D^{(L)}$ の指標は
$${\chi }^{(L)}(\phi )=\frac{\sin \left((2L+1)\phi /2\right)}{\sin (\phi /2)}(\phi \ne 0),{\chi }^{(L)}(0)=2L+1$$
で与えられる。$D^{(6)}$ を $O$ に制限した表現を既約分解したとき、$A_1,A_2,E,T_1,T_2$ が現れる回数をそれぞれ $n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2}$ とする。組 $(n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2})$ をこの順に求めよ。

軌道角運動量 $L=2$ の 5 重に縮退した準位（$d$ 軌道）が、点群 $D_3$ の対称性をもつ結晶場に置かれる。回転群 $SO(3)$ の既約表現 $D^{(2)}$ を、$D_3$ の部分群への制限として $D_3$ の既約表現に分解したい。回転角 $\phi$ の回転に対する $D^{(L)}$ の指標は
$${\chi }^{(L)}(\phi )=\frac{\sin \left((2L+1)\phi /2\right)}{\sin (\phi /2)}(\phi \ne 0),{\chi }^{(L)}(0)=2L+1$$
である。$D_3$（位数 $6$）の類は $E$（恒等, $1$ 個）、$2C_3$（$\phi =\frac{2\pi }{3}$ の回転, $2$ 個）、$3C_2$（$\phi =\pi$ の回転, $3$ 個）で、既約表現の指標表は次のとおりである。

$D^{(2)}$ に含まれる $A_1$, $A_2$, $E$ の重複度を $m_{A_1}$, $m_{A_2}$, $m_E$ とするとき、組 $(m_{A_1},m_{A_2},m_E)$ をこの順に求めよ。

三角錐形の分子 $\mathrm{X}{\mathrm{Y}}_3$（$\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3$ と同じ形で、X 原子が頂点、3 個の Y 原子が底面の正三角形の頂点にある）は点群 $C_{3v}$ の対称性をもつ。$C_{3v}$（位数 $6$）の類は $E$（$1$ 個）、$2C_3$（3 回軸のまわりの $\pm \frac{2\pi }{3}$ 回転, $2$ 個）、$3{\sigma }_v$（3 回軸を含む鏡映面, $3$ 個）で、指標表は次のとおりである。

ここで $z$ は 3 回軸の方向、$R_x,R_y,R_z$ は回転を表す。操作で動かない原子 1 個あたりの、その原子の変位 $(x,y,z)$ の 3 次元表現の指標は、角 $\theta$ の回転では $1+2\cos \theta$、鏡映では $1$ である。

12 次元の全運動（各原子の 3 方向の変位）の表現から並進と回転を除いた基準振動の表現を $m_{A_1}{A}_1\oplus m_{A_2}{A}_2\oplus m_{E}E$ と既約分解するとき、組 $(m_{A_1},m_{A_2},m_E)$ をこの順に求めよ。

区間 $0\le x\le 1$ 上で、微分作用素 $L=-\frac{d^2}{d{x}^2}+4$ に対する境界値問題
$$-\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+4y=f(x),y(0)=0,\frac{dy}{dx}(1)=0$$
を考える。まず、$0<x^{\prime }<1$ に対して
$$\left(-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+4\right)G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime }),G(0,x^{\prime })=0,\frac{\partial G}{\partial x}(1,x^{\prime })=0$$
を満たすグリーン関数 $G(x,x^{\prime })$ を求める。次に、それを用いて $f(x)=1$（$0\le x\le 1$ で一様な源）のときの解 $y(x)={\int }_0^{1}G(x,x^{\prime })f(x^{\prime })d{x}^{\prime }$ を考える。このときの $y(1)$ の値を求めよ。答えは $e$（自然対数の底）を用いた正確な式で表せ。

単位球面上の関数
$$f(\theta ,\phi )={\sin }^4\theta \cos 2\phi$$
を、正規直交な球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$ で
$$f(\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^l{a}_{lm}{Y}_l^m(\theta ,\phi )$$
と展開する。ここで $Y_l^m$ は
$${\int }_0^{2\pi }d\phi {\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta Y_l^{m\ast }{Y}_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$$
を満たし、とくに
$$Y_4^2(\theta ,\phi )=\frac{3}{8}\sqrt{\frac{5}{2\pi }}{\sin }^2\theta (7{\cos }^2\theta -1)e^{2i\phi }$$
である。展開係数 $a_{42}$ を求めよ。答えは根号と $\pi$ を含む正確な形で答えよ。