物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）の問題

軌道角運動量 $L=2$ の 5 重に縮退した準位（$d$ 軌道）が、点群 $D_3$ の対称性をもつ結晶場に置かれる。回転群 $SO(3)$ の既約表現 $D^{(2)}$ を、$D_3$ の部分群への制限として $D_3$ の既約表現に分解したい。回転角 $\phi$ の回転に対する $D^{(L)}$ の指標は
$${\chi }^{(L)}(\phi )=\frac{\sin \left((2L+1)\phi /2\right)}{\sin (\phi /2)}(\phi \ne 0),{\chi }^{(L)}(0)=2L+1$$
である。$D_3$（位数 $6$）の類は $E$（恒等, $1$ 個）、$2C_3$（$\phi =\frac{2\pi }{3}$ の回転, $2$ 個）、$3C_2$（$\phi =\pi$ の回転, $3$ 個）で、既約表現の指標表は次のとおりである。

$D^{(2)}$ に含まれる $A_1$, $A_2$, $E$ の重複度を $m_{A_1}$, $m_{A_2}$, $m_E$ とするとき、組 $(m_{A_1},m_{A_2},m_E)$ をこの順に求めよ。

軌道角運動量量子数 $l=5$ の $(2l+1)=11$ 重に縮退した 1 電子軌道（スピンとスピン軌道相互作用は無視する）が、正八面体の回転対称性をもつ結晶場（点群 $O$、位数 $24$）の中に置かれた。このとき、$11$ 次元の表現 $D^{(5)}$ は点群 $O$ の既約表現の直和に分解される。点群 $O$ の指標表は次のとおりとする（$C_2$ は 4 回軸まわりの $\pi$ 回転、$C_2^{\prime }$ は 2 回軸まわりの $\pi$ 回転）。

$$\begin{array}{cccccc}O& E& 8C_3& 3C_2& 6C_4& 6C_2^{\prime }\\ A_1& 1& 1& 1& 1& 1\\ A_2& 1& 1& 1& -1& -1\\ E& 2& -1& 2& 0& 0\\ T_1& 3& 0& -1& 1& -1\\ T_2& 3& 0& -1& -1& 1\end{array}$$

$D^{(5)}$ に含まれる既約表現 $A_1,A_2,E,T_1,T_2$ の重複度 $n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2}$ を、この順に組 $(n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2})$ で求めよ。

$\hslash =1$ とする。角運動量 $j=1$ の状態 $|1,1⟩$（$J_z$ の固有値 $m=1$）を、$y$ 軸のまわりに角 $\beta =\frac{\pi }{3}$ だけ回転させた状態 $|\psi ⟩=e^{-i\beta J_y}|1,1⟩$ を考える。ここで $J_y=\frac{1}{2i}(J_{+}-J_{-})$, $J_{\pm }|j,m⟩=\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}|j,m\pm 1⟩$ である。状態 $|\psi ⟩$ で $J_z$ を測定したとき、測定値 $0$ が得られる確率を既約分数で求めよ。

自由イオンの軌道角運動量 $L=6$ の多重項（$2L+1=13$ 重に縮退）を考える。このイオンを、正八面体の回転対称性をもつ結晶場の中に置く。対称群は八面体回転群 $O$（位数 $24$）とし、スピンとスピン軌道相互作用は無視する。

$O$ の指標表は次のとおりである（類は $E$, $8C_3$, $3C_2(=C_4^2)$, $6C_4$, $6C_2^{\prime }$ の順）。

$$\begin{array}{cccccc}& E& 8C_3& 3C_2& 6C_4& 6C_2^{\prime }\\ A_1& 1& 1& 1& 1& 1\\ A_2& 1& 1& 1& -1& -1\\ E& 2& -1& 2& 0& 0\\ T_1& 3& 0& -1& 1& -1\\ T_2& 3& 0& -1& -1& 1\end{array}$$

回転角 $\phi$ の回転に対する、角運動量 $L$ の $2L+1$ 次元表現 $D^{(L)}$ の指標は
$${\chi }^{(L)}(\phi )=\frac{\sin \left((2L+1)\phi /2\right)}{\sin (\phi /2)}(\phi \ne 0),{\chi }^{(L)}(0)=2L+1$$
で与えられる。$D^{(6)}$ を $O$ に制限した表現を既約分解したとき、$A_1,A_2,E,T_1,T_2$ が現れる回数をそれぞれ $n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2}$ とする。組 $(n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2})$ をこの順に求めよ。

$k>0$ を定数とする。1 次元のヘルムホルツ方程式
$$\left(\frac{d^2}{d{x}^2}+k^2\right)G(x)=-\delta (x)(-\infty <x<\infty )$$
の解のうち、$|x|\to \infty$ で外向きに進む波（時間因子を $e^{-i\omega t}$ としたとき、$x>0$ では $e^{ikx}$、$x<0$ では $e^{-ikx}$ に比例する解）だけからなるグリーン関数 $G(x)$ を考える。$x=\frac{\pi }{2k}$ での値 $G\left(\frac{\pi }{2k}\right)$ を $k$ を用いて表せ。