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物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）

$ℏ = 1$ とする。角運動量 $j = 1$ の状態 $∣1, 1 ⟩$ （ $J_{z}$ の固有値 $m = 1$ ）を、 $y$ 軸のまわりに角 $β = \frac{π}{3}$ だけ回転させた状態 $∣ ψ ⟩ = e^{- i β J_{y}} ∣1, 1 ⟩$ を考える。ここで $J_{y} = \frac{1}{2 i} (J_{+} - J_{-})$ , $J_{\pm} ∣ j, m ⟩ = (j \mp m) (j \pm m + 1) ∣ j, m \pm 1 ⟩$ である。状態 $∣ ψ ⟩$ で $J_{z}$ を測定したとき、測定値 $0$ が得られる確率を既約分数で求めよ。

この問題で使うもの

ウィグナーの D 関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（123 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ウィグナーの D 関数の技能を使います。求める確率は小 $d$ 行列の成分 $d_{01}^{1} (β) = ⟨ 1, 0∣ e^{- i β J_{y}} ∣1, 1 ⟩$ の絶対値の 2 乗です。

ヒント 2

$j = 1$ の $J_{y}$ を $3 \times 3$ 行列で書くと、固有値が $1, 0, - 1$ なので $J_{y}^{3} = J_{y}$ が成り立ちます。これで $e^{- i β J_{y}} = 1 - i sin β J_{y} - (1 - cos β) J_{y}^{2}$ と書けます。

ヒント 3

$e^{- i β J_{y}}$ を $∣1, 1 ⟩$ に作用させると、 $m = 0$ の成分は $\frac{s i n β}{2}$ の形になります。 $β = \frac{π}{3}$ を代入しましょう。

答えと解説

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\frac{3}{8}

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解説を読む

手順 1: 求める量を小 $d$ 行列で書く。 $∣ ψ ⟩ = \sum_{m} ∣1, m ⟩ ⟨ 1, m ∣ e^{- i β J_{y}} ∣1, 1 ⟩ = \sum_{m} d_{m 1}^{1} (β) ∣1, m ⟩$ なので、求める確率は $∣ d_{01}^{1} (β) ∣^{2}$ である（ $D_{m m^{'}}^{j} (α, β, γ) = e^{- im α} d_{m m^{'}}^{j} (β) e^{- i m^{'} γ}$ で $α = γ = 0$ の場合）。

手順 2: $J_{y}$ の行列を作る。 基底を $m = 1, 0, - 1$ の順にとると、 $J_{+} ∣1, 0 ⟩ = 2 ∣1, 1 ⟩$ , $J_{+} ∣1, - 1 ⟩ = 2 ∣1, 0 ⟩$ などから
$J_{y} = \frac{1}{2 i} 0 - 1 0 10 - 1 010 .$
$K = - i J_{y} = \frac{1}{2} 010 - 1 01 0 - 1 0$ とおくと $e^{- i β J_{y}} = e^{β K}$ である。

手順 3: 行列指数関数を計算する。 $J_{y}$ の固有値は $1, 0, - 1$ なので $J_{y}^{3} = J_{y}$ 、よって $K^{3} = - K$ 。これを使うと指数関数のテイラー展開が
$e^{β K} = 1 + sin β K + (1 - cos β) K^{2}$
とまとまる。 $∣1, 1 ⟩$ に対応する列ベクトル $(1, 0, 0)^{T}$ に作用させると、 $K (1, 0, 0)^{T} = (0, \frac{1}{2}, 0)^{T}$ , $K^{2} (1, 0, 0)^{T} = (- \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})^{T}$ より
$e^{β K} 100 = \frac{1 + c o s β}{2} \frac{s i n β}{2} \frac{1 - c o s β}{2} .$
よって $d_{11}^{1} = \frac{1 + c o s β}{2}$ , $d_{01}^{1} = \frac{s i n β}{2}$ , $d_{- 1, 1}^{1} = \frac{1 - c o s β}{2}$ 。

手順 4: 確率。 $β = \frac{π}{3}$ で $sin β = \frac{3}{2}$ なので
$∣ d_{01}^{1} ∣^{2} = \frac{sin ^{2} β}{2} = \frac{3/4}{2} = \frac{3}{8} .$

（確かめ: $cos β = \frac{1}{2}$ より $∣ d_{11}^{1} ∣^{2} = \frac{9}{16}$ , $∣ d_{- 1, 1}^{1} ∣^{2} = \frac{1}{16}$ で、 $\frac{9}{16} + \frac{6}{16} + \frac{1}{16} = 1$ 。）

別解

$j = 1$ のウィグナー小行列 $d_{m^{'} m}^{1} (β)$ の成分は $d_{11}^{1} = \frac{1 + c o s β}{2}$ 、 $d_{01}^{1} = \frac{s i n β}{2}$ （符号は向きの取り方で決まる）、 $d_{- 1, 1}^{1} = \frac{1 - c o s β}{2}$ 。測定値 0 の確率は $∣ d_{01}^{1} ∣^{2} = \frac{s i n ^{2} β}{2}$ 。 $β = \frac{π}{3}$ で $sin^{2} β = \frac{3}{4}$ なので $\frac{3}{8}$ 。検算: 三つの確率 $(\frac{1 + c o s β}{2})^{2} = \frac{9}{16}$ 、 $\frac{3}{8} = \frac{6}{16}$ 、 $(\frac{1 - c o s β}{2})^{2} = \frac{1}{16}$ の和は $\frac{9 + 6 + 1}{16} = 1$ 。

	$E$	$2 C_{3}$	$3 C_{2}$
$A_{1}$	$1$	$1$	$1$
$A_{2}$	$1$	$1$	$- 1$
$E$	$2$	$- 1$	$0$

	$E$	$2 C_{3}$	$3 σ_{v}$	基底
$A_{1}$	$1$	$1$	$1$	$z$
$A_{2}$	$1$	$1$	$- 1$	$R_{z}$
$E$	$2$	$- 1$	$0$	$(x, y)$ , $(R_{x}, R_{y})$

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