物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）の問題

単位球面上の関数
$$f(\theta ,\phi )={\sin }^4\theta \cos 2\phi$$
を、正規直交な球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$ で
$$f(\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^l{a}_{lm}{Y}_l^m(\theta ,\phi )$$
と展開する。ここで $Y_l^m$ は
$${\int }_0^{2\pi }d\phi {\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta Y_l^{m\ast }{Y}_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$$
を満たし、とくに
$$Y_4^2(\theta ,\phi )=\frac{3}{8}\sqrt{\frac{5}{2\pi }}{\sin }^2\theta (7{\cos }^2\theta -1)e^{2i\phi }$$
である。展開係数 $a_{42}$ を求めよ。答えは根号と $\pi$ を含む正確な形で答えよ。

コンドン・ショートレーの位相規約に従う正規直交な球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$ について、3 つの積の積分（ゴーント係数）は
$$\int Y_{l_1}^{m_1}{Y}_{l_2}^{m_2}{Y}_{l_3}^{m_3}d\Omega =\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi }}\left(\begin{array}{ccc}{l}_1& l_2& l_3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{l}_1& l_2& l_3\\ m_1& m_2& m_3\end{array}\right)$$
で与えられる（$d\Omega =\sin \theta d\theta d\phi$）。また 3j 記号とクレブシュ・ゴルダン係数は
$$\left(\begin{array}{ccc}{j}_1& j_2& j_3\\ m_1& m_2& m_3\end{array}\right)=\frac{(-1{)}^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}}⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|j_3,-m_3⟩$$
の関係にある。これらを用いて、積分
$$\int Y_1^0{Y}_1^0{Y}_2^{0}d\Omega$$
の値を求めよ。

$k>0$ を定数とし、空間の点を極座標 $(r,\theta ,\phi )$ で表す（$z=r\cos \theta$）。平面波の部分波展開
$$e^{ikz}=\sum _{l=0}^{\infty }{i}^l(2l+1)j_l(kr)P_l(\cos \theta )$$
を用いて（$j_l$ は球ベッセル関数、$P_l$ はルジャンドル多項式）、関数 $\sin (kz)$ を
$$\sin (kz)=\sum _{l=0}^{\infty }{b}_l{j}_l(kr)P_l(\cos \theta )$$
と展開する。係数 $b_3$ を求めよ。

区間 $0\le x\le 1$ 上の実数値関数 $\varphi (x)$（2 回微分可能で $\varphi (0)=\varphi (1)=0$ をみたすもの）に対して、汎関数
$$F[\varphi ]={\int }_0^1\left[\frac{1}{2}{\left(\frac{d\varphi }{dx}\right)}^2-x\varphi (x)\right]dx$$
を考える。汎関数微分 $\frac{\delta F}{\delta \varphi (x)}$ が $0<x<1$ で $0$ になる停留関数 ${\varphi }_0$ に対する停留値 $F[{\varphi }_0]$ を求めよ。

区間 $0\le x\le 1$ での境界値問題
$$-\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f(x),y(0)=y(1)=0$$
を考える。このグリーン関数 $G(x,x^{\prime })$（$-{\partial }_x^{2}G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })$, $G(0,x^{\prime })=G(1,x^{\prime })=0$ をみたすもの）は閉じた形で
$$G(x,x^{\prime })=\{\begin{array}{ll}x(1-x^{\prime })& (0\le x\le x^{\prime })\\ x^{\prime }(1-x)& (x^{\prime }\le x\le 1)\end{array}$$
と表される。一方、固有値問題 $-{\varphi }^{\prime \prime }=\lambda \varphi$, $\varphi (0)=\varphi (1)=0$ の正規直交な固有関数を使って $G$ を固有関数展開で表すこともできる。この 2 つの表し方を $x=x^{\prime }=\frac{1}{3}$ で比べることにより、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sin }^2(n\pi /3)}{n^2}$$
の値を求めよ。