物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）の問題

単位球面上の関数 $f(\theta ,\phi )={\cos }^2\theta$（$0\le \theta \le \pi$, $0\le \phi <2\pi$）を、正規直交な球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$ で
$$f(\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^l{a}_{lm}{Y}_l^m(\theta ,\phi )$$
と展開する。ここで正規直交性は ${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }\overline{Y_l^m}{Y}_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}\sin \theta d\theta d\phi ={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$ であり、
$$Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi }},Y_2^0=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left(3{\cos }^2\theta -1\right)$$
である。係数 $a_{20}$ を求めよ。

単位球面上の関数
$$f(\theta ,\phi )={\sin }^4\theta \cos 2\phi$$
を、正規直交な球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$ で
$$f(\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^l{a}_{lm}{Y}_l^m(\theta ,\phi )$$
と展開する。ここで $Y_l^m$ は
$${\int }_0^{2\pi }d\phi {\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta Y_l^{m\ast }{Y}_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$$
を満たし、とくに
$$Y_4^2(\theta ,\phi )=\frac{3}{8}\sqrt{\frac{5}{2\pi }}{\sin }^2\theta (7{\cos }^2\theta -1)e^{2i\phi }$$
である。展開係数 $a_{42}$ を求めよ。答えは根号と $\pi$ を含む正確な形で答えよ。

区間 $0\le x\le 1$ での境界値問題
$$-\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f(x),y(0)=y(1)=0$$
を考える。このグリーン関数 $G(x,x^{\prime })$（$-{\partial }_x^{2}G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })$, $G(0,x^{\prime })=G(1,x^{\prime })=0$ をみたすもの）は閉じた形で
$$G(x,x^{\prime })=\{\begin{array}{ll}x(1-x^{\prime })& (0\le x\le x^{\prime })\\ x^{\prime }(1-x)& (x^{\prime }\le x\le 1)\end{array}$$
と表される。一方、固有値問題 $-{\varphi }^{\prime \prime }=\lambda \varphi$, $\varphi (0)=\varphi (1)=0$ の正規直交な固有関数を使って $G$ を固有関数展開で表すこともできる。この 2 つの表し方を $x=x^{\prime }=\frac{1}{3}$ で比べることにより、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sin }^2(n\pi /3)}{n^2}$$
の値を求めよ。

コンドン・ショートレーの位相規約に従う正規直交な球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$ について、3 つの積の積分（ゴーント係数）は
$$\int Y_{l_1}^{m_1}{Y}_{l_2}^{m_2}{Y}_{l_3}^{m_3}d\Omega =\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi }}\left(\begin{array}{ccc}{l}_1& l_2& l_3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{l}_1& l_2& l_3\\ m_1& m_2& m_3\end{array}\right)$$
で与えられる（$d\Omega =\sin \theta d\theta d\phi$）。また 3j 記号とクレブシュ・ゴルダン係数は
$$\left(\begin{array}{ccc}{j}_1& j_2& j_3\\ m_1& m_2& m_3\end{array}\right)=\frac{(-1{)}^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}}⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|j_3,-m_3⟩$$
の関係にある。これらを用いて、積分
$$\int Y_1^0{Y}_1^0{Y}_2^{0}d\Omega$$
の値を求めよ。

$k>0$ を定数とする。1 次元のヘルムホルツ方程式
$$\left(\frac{d^2}{d{x}^2}+k^2\right)G(x)=-\delta (x)(-\infty <x<\infty )$$
の解のうち、$|x|\to \infty$ で外向きに進む波（時間因子を $e^{-i\omega t}$ としたとき、$x>0$ では $e^{ikx}$、$x<0$ では $e^{-ikx}$ に比例する解）だけからなるグリーン関数 $G(x)$ を考える。$x=\frac{\pi }{2k}$ での値 $G\left(\frac{\pi }{2k}\right)$ を $k$ を用いて表せ。