ベッセル関数による展開

円板・円柱領域でのフーリエ・ベッセル展開 $f (r) = \sum_{n} c_{n} J_{m} (j_{mn} r / a)$ の係数や、平面波の部分波展開 $e^{ik z} = \sum_{l} i^{l} (2 l + 1) j_{l} (k r) P_{l} (cos θ)$ を用いた係数を求められる

前提

自己共役作用素と固有関数展開（大学院数学関数解析）
ベッセル関数のラプラス変換と積分（大学院数学特殊関数・漸近解析）
ルジャンドル多項式の直交性と漸化式（大学院数学特殊関数・漸近解析）

この技能までの道筋（117 技能）

算数中学高校大学大学院

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自己共役作用素と固有関数展開（大学院数学関数解析）
ベッセル関数の母関数と級数の和（大学院数学特殊関数・漸近解析）
ラプラス変換と逆変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
級数の項別積分（大学院数学測度論・実解析）
ベッセル関数のラプラス変換と積分（大学院数学特殊関数・漸近解析）
ルジャンドル多項式の直交性と漸化式（大学院数学特殊関数・漸近解析）

説明

円板や円柱の問題（太鼓の膜の振動、円柱内の熱伝導、導波管）では、半径方向の関数を $J_{m} (j_{mn} r / a)$ （ $j_{mn}$ は $J_{m}$ の $n$ 番目の正の零点、 $a$ は半径）の和に展開するフーリエ・ベッセル展開 $f (r) = \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} J_{m} (j_{mn} r / a)$ を使います。球対称な散乱の問題では、平面波を角度ごとの成分に分ける部分波展開 $e^{ik z} = \sum_{l = 0}^{\infty} i^{l} (2 l + 1) j_{l} (k r) P_{l} (cos θ)$ が基本になります。この技能では、どちらの展開でも、重み付きの直交性を使って係数を積分 1 つで取り出せるようにします。

なぜそうしてよいのか

フーリエ・ベッセル展開の土台は、 $y (r) = J_{m} (λ r)$ がベッセルの微分方程式から得られる $(r y^{'})^{'} - \frac{m ^{2}}{r} y + λ^{2} r y = 0$ を満たすことです。これは重み $r$ をもつスツルム・リウヴィル型の方程式で、 $r = a$ での境界条件 $y (a) = 0$ と $r = 0$ での有界性を課すと、固有値は $λ = j_{mn} / a$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）の離散的な値になります。 $u = J_{m} (α r)$ 、 $v = J_{m} (β r)$ の方程式にそれぞれ $v$ 、 $u$ をかけて引き、 $0$ から $a$ まで積分すると
$(α^{2} - β^{2}) \int_{0}^{a} r uv d r = a [u (a) v^{'} (a) - v (a) u^{'} (a)]$
（ $^{'}$ は $r$ での微分）が得られます。 $α a, β a$ が異なる零点なら右辺は $0$ で直交し、 $β \to α$ の極限をとると $\int_{0}^{a} r u^{2} d r = \frac{a ^{2}}{2} J_{m}^{'} (α a)^{2}$ （ $J_{m} (α a) = 0$ のとき）が出ます。零点では $J_{m}^{'} (x) = \frac{m}{x} J_{m} (x) - J_{m + 1} (x)$ の第 1 項が消えて $J_{m}^{'} (j_{mn}) = - J_{m + 1} (j_{mn})$ なので、
$\int_{0}^{a} r J_{m} (\frac{j _{mn} r}{a}) J_{m} (\frac{j _{mk} r}{a}) d r = \frac{a ^{2}}{2} J_{m + 1} (j_{mn})^{2} δ_{nk} .$
したがって展開の両辺に $r J_{m} (j_{mk} r / a)$ をかけて積分すると 1 項だけが残り、
$c_{n} = \frac{2}{a ^{2} J _{m + 1} ( j _{mn} ) ^{2}} \int_{0}^{a} r f (r) J_{m} (\frac{j _{mn} r}{a}) d r$
です。例えば $m = 0$ 、 $f = 1$ では $(x J_{1} (x))^{'} = x J_{0} (x)$ から $\int_{0}^{a} r J_{0} (j_{0 n} r / a) d r = \frac{a ^{2} J _{1} ( j _{0 n} )}{j _{0 n}}$ で、 $c_{n} = \frac{2}{j _{0 n} J _{1} ( j _{0 n} )}$ となります。

部分波展開も同じ考え方です。 $ρ = k r$ を固定すると $e^{ik z} = e^{i ρ c o s θ}$ は $x = cos θ \in [- 1, 1]$ の関数なので、ルジャンドル多項式で $e^{i ρ x} = \sum_{l} a_{l} P_{l} (x)$ と展開でき、直交性 $\int_{- 1}^{1} P_{l} P_{l^{'}} d x = \frac{2}{2 l + 1} δ_{l l^{'}}$ から
$a_{l} = \frac{2 l + 1}{2} \int_{- 1}^{1} e^{i ρ x} P_{l} (x) d x$
です。この積分を $2 i^{l} j_{l} (ρ)$ と書いて定めた関数 $j_{l}$ が球ベッセル関数で、 $j_{0} (ρ) = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} e^{i ρ x} d x = \frac{s i n ρ}{ρ}$ 、部分積分で $j_{1} (ρ) = \frac{s i n ρ}{ρ ^{2}} - \frac{c o s ρ}{ρ}$ が得られます（ $ρ > 0$ ）。こうして $a_{l} = i^{l} (2 l + 1) j_{l} (ρ)$ となり、部分波展開の形が出てきます。

手順

展開の種類と直交関係を確認する。フーリエ・ベッセル展開なら重み $r$ と区間 $[0, a]$ 、部分波展開なら $x = cos θ$ と区間 $[- 1, 1]$
係数の式を書く: $c_{n} = \frac{2}{a ^{2} J _{m + 1} ( j _{mn} ) ^{2}} \int_{0}^{a} r f (r) J_{m} (j_{mn} r / a) d r$ 、または $a_{l} = \frac{2 l + 1}{2} \int_{- 1}^{1} g (x) P_{l} (x) d x$
積分を計算する。ベッセル関数の積分は $x = j_{mn} r / a$ と置換し、 $(x^{m + 1} J_{m + 1} (x))^{'} = x^{m + 1} J_{m} (x)$ などの微分公式を使う。ルジャンドルの積分は $P_{l}$ を多項式で書いて部分積分する
部分波展開では、結果を $a_{l} = i^{l} (2 l + 1) j_{l} (k r)$ （ $j_{0} (ρ) = \frac{s i n ρ}{ρ}$ 、 $j_{1} (ρ) = \frac{s i n ρ}{ρ ^{2}} - \frac{c o s ρ}{ρ}$ ）と見比べて検算し、与えられた $k r$ の値を代入する

例題

$ρ = k r = π$ のとき、関数 $e^{i ρ c o s θ}$ をルジャンドル多項式で $e^{i ρ c o s θ} = \sum_{l = 0}^{\infty} a_{l} P_{l} (cos θ)$ と展開する。 $P_{1} (x) = x$ の係数 $a_{1}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $x = cos θ$ とおくと $e^{i ρ x}$ （ $- 1 \leq x \leq 1$ ）のルジャンドル展開で、直交関係は $\int_{- 1}^{1} P_{l} P_{l^{'}} d x = \frac{2}{2 l + 1} δ_{l l^{'}}$ 。

手順 2: $a_{1} = \frac{3}{2} \int_{- 1}^{1} x e^{i ρ x} d x$ 。

手順 3: 部分積分すると
$\int_{- 1}^{1} x e^{i ρ x} d x = [\frac{x e ^{i ρ x}}{i ρ}]_{- 1}^{1} - \frac{1}{i ρ} \int_{- 1}^{1} e^{i ρ x} d x = \frac{2 cos ρ}{i ρ} - \frac{2 sin ρ}{i ρ ^{2}} = 2 i (\frac{sin ρ}{ρ ^{2}} - \frac{cos ρ}{ρ}) .$
よって $a_{1} = 3 i (\frac{s i n ρ}{ρ ^{2}} - \frac{c o s ρ}{ρ})$ 。

手順 4: これは $i^{1} (2 \cdot 1 + 1) j_{1} (ρ)$ と一致する。 $ρ = π$ では $sin π = 0$ 、 $cos π = - 1$ なので
$a_{1} = 3 i (0 + \frac{1}{π}) = \frac{3 i}{π} .$

答え: $\frac{3 i}{π}$

よくある誤り

フーリエ・ベッセル展開の係数で重み $r$ を落とし、 $c_{n} \propto \int_{0}^{a} f (r) J_{m} (j_{mn} r / a) d r$ としてしまう誤り。 $J_{m} (j_{mn} r / a)$ どうしが直交するのは重み $r$ を付けたときだけなので、正しくは $c_{n} = \frac{2}{a ^{2} J _{m + 1} ( j _{mn} ) ^{2}} \int_{0}^{a} r f (r) J_{m} (j_{mn} r / a) d r$ 。
規格化の分母を $\frac{a ^{2}}{2} J_{m} (j_{mn})^{2}$ としてしまう誤り。 $J_{m} (j_{mn}) = 0$ なので分母が $0$ になってしまう。正しくは $\int_{0}^{a} r J_{m} (j_{mn} r / a)^{2} d r = \frac{a ^{2}}{2} J_{m}^{'} (j_{mn})^{2} = \frac{a ^{2}}{2} J_{m + 1} (j_{mn})^{2}$ 。
ルジャンドル展開の係数で $\frac{2 l + 1}{2}$ を付け忘れ、 $a_{l} = \int_{- 1}^{1} e^{i ρ x} P_{l} (x) d x$ としてしまう誤り。 $P_{l}$ は規格化されておらず $\int_{- 1}^{1} P_{l}^{2} d x = \frac{2}{2 l + 1}$ なので、正しくは $a_{l} = \frac{2 l + 1}{2} \int_{- 1}^{1} e^{i ρ x} P_{l} (x) d x$ （ $l = 0$ で $a_{0} = j_{0} (ρ) = \frac{s i n ρ}{ρ}$ になるかで確かめられる）。
部分波展開の $i^{l}$ や $2 l + 1$ を落とし、 $e^{ik z} = \sum_{l} j_{l} (k r) P_{l} (cos θ)$ としてしまう誤り。例えば $l = 1$ の係数は $\frac{3}{2} \int_{- 1}^{1} x e^{i ρ x} d x = 3 i j_{1} (ρ)$ と計算されるので、正しくは $e^{ik z} = \sum_{l} i^{l} (2 l + 1) j_{l} (k r) P_{l} (cos θ)$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$k > 0$ を定数とし、空間の点を極座標 $(r, θ, φ)$ で表す（ $z = r cos θ$ ）。平面波の部分波展開
$e^{ik z} = l = 0 \sum \infty i^{l} (2 l + 1) j_{l} (k r) P_{l} (cos θ)$
を用いて（ $j_{l}$ は球ベッセル関数、 $P_{l}$ はルジャンドル多項式）、関数 $sin (k z)$ を
$sin (k z) = l = 0 \sum \infty b_{l} j_{l} (k r) P_{l} (cos θ)$
と展開する。係数 $b_{3}$ を求めよ。

この技能の次に学べること

部分波展開と位相のずれ（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））