ルジャンドル多項式の直交性と漸化式

ロドリゲスの公式と部分積分から $\int_{- 1}^{1} P_{m} P_{n} d x = \frac{2}{2 n + 1} δ_{mn}$ を導き、漸化式 $(n + 1) P_{n + 1} = (2 n + 1) x P_{n} - n P_{n - 1}$ で $x P_{n}$ や $x^{2} P_{n}$ を展開して、 $\int_{- 1}^{1} x^{2} P_{2} P_{4} d x$ のような積分の値を求められる

前提

内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
部分積分（数学III 積分法）

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算数中学高校大学大学院

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指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）

説明

ルジャンドル多項式 $P_{n} (x)$ は、区間 $[- 1, 1]$ 上の内積 $⟨ f, g ⟩ = \int_{- 1}^{1} f (x) g (x) d x$ について互いに直交する多項式の列です。この技能では、ロドリゲスの公式から直交関係 $\int_{- 1}^{1} P_{m} P_{n} d x = \frac{2}{2 n + 1} δ_{mn}$ を導き、3 項漸化式で $x P_{n}$ を $P_{n \pm 1}$ の和に直すことで、 $x^{k} P_{m} P_{n}$ のような多項式の積分を、展開せずに直交性だけで計算できるようになります。ルジャンドル級数展開や、球面上の問題（球面調和関数）、数値積分などの土台になる計算です。

なぜそうしてよいのか

ルジャンドル多項式をロドリゲスの公式 $P_{n} (x) = \frac{1}{2 ^{n} n !} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (x^{2} - 1)^{n}$ で定めます（ $δ_{mn}$ は $m = n$ のとき 1、それ以外は 0）。 $P_{n}$ はちょうど $n$ 次で、最高次の係数は $k_{n} = \frac{( 2 n )!}{2 ^{n} ( n ! ) ^{2}}$ です。また $(x^{2} - 1)^{n}$ は偶関数なので $P_{n}$ は $n$ が偶数なら偶関数、奇数なら奇関数です。さらに $(x^{2} - 1)^{n} = (x - 1)^{n} (x + 1)^{n}$ を積の微分で $n$ 回微分すると、 $x = 1$ で $0$ にならないのは $(x - 1)^{n}$ を $n$ 回とも微分した項 $n! (x + 1)^{n}$ だけなので、 $P_{n} (1) = \frac{n ! 2 ^{n}}{2 ^{n} n !} = 1$ です。

直交性: $m < n$ とし、 $\int_{- 1}^{1} P_{m} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (x^{2} - 1)^{n} d x$ を部分積分します。 $k < n$ のとき $\frac{d ^{k}}{d x ^{k}} (x^{2} - 1)^{n}$ は因子 $(x^{2} - 1)^{n - k}$ を含むので $x = \pm 1$ で $0$ になり、境界項はすべて消えます。 $n$ 回部分積分すると $(- 1)^{n} \int_{- 1}^{1} P_{m}^{(n)} (x) (x^{2} - 1)^{n} d x$ となり、 $P_{m}$ は $m < n$ 次なので $P_{m}^{(n)} = 0$ 、積分は $0$ です。 $m = n$ のときは $P_{n}^{(n)} = n! k_{n} = \frac{( 2 n )!}{2 ^{n} n !}$ （定数）なので $\int_{- 1}^{1} P_{n}^{2} d x = \frac{( 2 n )!}{4 ^{n} ( n ! ) ^{2}} \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2})^{n} d x$ です。 $I_{n} = \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2})^{n} d x$ は部分積分で $I_{n} = [x (1 - x^{2})^{n}]_{- 1}^{1} + 2 n \int_{- 1}^{1} x^{2} (1 - x^{2})^{n - 1} d x = 2 n (I_{n - 1} - I_{n})$ 、すなわち $I_{n} = \frac{2 n}{2 n + 1} I_{n - 1}$ , $I_{0} = 2$ となり $I_{n} = \frac{2 ^{2 n + 1} ( n ! ) ^{2}}{( 2 n + 1 )!}$ 。代入すると $\int_{- 1}^{1} P_{n}^{2} d x = \frac{2}{2 n + 1}$ が得られます。

漸化式: $x P_{n}$ は $n + 1$ 次なので、基底 $P_{0}, \dots, P_{n + 1}$ で $x P_{n} = \sum_{k} a_{k} P_{k}$ と展開でき、 $a_{k} = \frac{2 k + 1}{2} \int_{- 1}^{1} x P_{n} P_{k} d x$ です。 $k \leq n - 2$ なら $x P_{k}$ は $n$ 次未満なので $P_{n}$ と直交して $a_{k} = 0$ 、 $k = n$ なら $x P_{n}^{2}$ が奇関数なので $a_{n} = 0$ 。よって $x P_{n} = α P_{n + 1} + β P_{n - 1}$ の形で、最高次の係数を比べて $α = \frac{k _{n}}{k _{n + 1}} = \frac{n + 1}{2 n + 1}$ 、 $x = 1$ を代入して $1 = α + β$ より $β = \frac{n}{2 n + 1}$ 。これを書き直したものが $(n + 1) P_{n + 1} = (2 n + 1) x P_{n} - n P_{n - 1}$ $(n \geq 1)$ 、つまり
$x P_{n} = \frac{( n + 1 ) P _{n + 1} + n P _{n - 1}}{2 n + 1}$
です（ $n = 0$ では $x P_{0} = P_{1}$ ）。

手順

被積分関数の $x$ の因子を各 $P$ に割り振る。例えば $x^{2} P_{m} P_{n} = (x P_{m}) (x P_{n})$ 、 $x^{2} P_{n} = x (x P_{n})$ とみる
漸化式 $x P_{n} = \frac{( n + 1 ) P _{n + 1} + n P _{n - 1}}{2 n + 1}$ を使って、 $x P_{m}$ , $x P_{n}$ をルジャンドル多項式の 1 次結合に直す（ $x$ が 2 つ以上かかるときは繰り返し使う）
積を展開し、直交性 $\int_{- 1}^{1} P_{j} P_{k} d x = 0$ $(j \neq = k)$ により、添字が一致する組の項だけを残す
残った項に $\int_{- 1}^{1} P_{k}^{2} d x = \frac{2}{2 k + 1}$ を代入して計算する

例題

ルジャンドル多項式 $P_{n} (x) = \frac{1}{2 ^{n} n !} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (x^{2} - 1)^{n}$ について、定積分 $\int_{- 1}^{1} x^{2} P_{2} (x) P_{4} (x) d x$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $x^{2} P_{2} P_{4} = (x P_{2}) (x P_{4})$ とみる。

【手順 2】漸化式 $x P_{n} = \frac{( n + 1 ) P _{n + 1} + n P _{n - 1}}{2 n + 1}$ で $n = 2$ , $n = 4$ とすると
$x P_{2} = \frac{3 P _{3} + 2 P _{1}}{5}, x P_{4} = \frac{5 P _{5} + 4 P _{3}}{9} .$

【手順 3】積を展開すると $\frac{1}{45} (3 P_{3} + 2 P_{1}) (5 P_{5} + 4 P_{3})$ 。直交性により $\int P_{3} P_{5} = \int P_{1} P_{5} = \int P_{1} P_{3} = 0$ なので、残るのは $P_{3}$ どうしの項 $3 \cdot 4 P_{3}^{2}$ だけで
$\int_{- 1}^{1} x^{2} P_{2} P_{4} d x = \frac{12}{45} \int_{- 1}^{1} P_{3}^{2} d x .$

【手順 4】 $\int_{- 1}^{1} P_{3}^{2} d x = \frac{2}{7}$ を代入して
$\frac{12}{45} \cdot \frac{2}{7} = \frac{24}{315} = \frac{8}{105} .$

（検算: $P_{2} = \frac{3 x ^{2} - 1}{2}$ , $P_{4} = \frac{35 x ^{4} - 30 x ^{2} + 3}{8}$ から $x^{2} P_{2} P_{4} = \frac{105 x ^{8} - 125 x ^{6} + 39 x ^{4} - 3 x ^{2}}{16}$ で、積分すると $\frac{2}{16} (\frac{105}{9} - \frac{125}{7} + \frac{39}{5} - 1) = \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{105} = \frac{8}{105}$ となり一致する。）

答え: $\frac{8}{105}$

よくある誤り

$P_{n}$ が正規直交だと思い $\int_{- 1}^{1} P_{n}^{2} d x = 1$ としてしまう誤り。正しくは $\int_{- 1}^{1} P_{n}^{2} d x = \frac{2}{2 n + 1}$ で、例えば $\int_{- 1}^{1} P_{3}^{2} d x = \frac{2}{7}$ 。正規直交にするには $\frac{2 n + 1}{2} P_{n}$ を使う
漸化式の係数を取り違え、 $x P_{n} = \frac{P _{n + 1} + P _{n - 1}}{2}$ などとしてしまう誤り。正しくは $x P_{n} = \frac{( n + 1 ) P _{n + 1} + n P _{n - 1}}{2 n + 1}$ で、例えば $x P_{2} = \frac{3 P _{3} + 2 P _{1}}{5}$ 。確かめるには最高次の係数を比べるとよい: $P_{n + 1}$ の係数は $\frac{k _{n}}{k _{n + 1}} = \frac{n + 1}{2 n + 1}$ でなければならず、 $n = 2$ なら $\frac{3}{5}$ （ $\frac{1}{2}$ ではない）。実際 $P_{1} = x$ , $P_{2} = \frac{3 x ^{2} - 1}{2}$ , $P_{3} = \frac{5 x ^{3} - 3 x}{2}$ から $\frac{3 P _{3} + 2 P _{1}}{5} = \frac{3 x ^{3} - x}{2} = x P_{2}$ だが、 $\frac{P _{3} + P _{1}}{2} = \frac{5 x ^{3} - x}{4} \neq = x P_{2}$ である。なお $x = 1$ を代入して両辺が $1$ になるかを見るのは係数の和が $1$ になるという必要条件にすぎず、誤った式 $\frac{P _{n + 1} + P _{n - 1}}{2}$ も満たしてしまうので判別には使えない
区間を $[0, 1]$ にしても直交すると思ってしまう誤り。直交性は $[- 1, 1]$ 上でのみ成り立ち、例えば $\int_{0}^{1} P_{1} P_{2} d x = \int_{0}^{1} \frac{3 x ^{3} - x}{2} d x = \frac{1}{8} \neq = 0$ である
展開後に添字の一致しない積の項も残してしまう、あるいは $\int_{- 1}^{1} P_{0}^{2} d x$ まで $0$ としてしまう誤り。 $j \neq = k$ の $\int P_{j} P_{k}$ だけが $0$ で、 $P_{0} = 1$ については $\int_{- 1}^{1} P_{0}^{2} d x = 2$ （ $\frac{2}{2 \cdot 0 + 1}$ ）である

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$0$ 以上の整数 $n$ に対し、ルジャンドル多項式 $P_{n} (x)$ をロドリゲスの公式
$P_{n} (x) = \frac{1}{2 ^{n} n !} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (x^{2} - 1)^{n}$
で定める。 $P_{n}$ は直交関係
$\int_{- 1}^{1} P_{m} (x) P_{n} (x) d x = \frac{2}{2 n + 1} δ_{mn} (m, n \geq 0)$
と、 $n \geq 1$ に対する漸化式
$(n + 1) P_{n + 1} (x) = (2 n + 1) x P_{n} (x) - n P_{n - 1} (x)$
を満たす（ $δ_{mn}$ はクロネッカーのデルタ）。これらを用いて、定積分
$I = \int_{- 1}^{1} x P_{3} (x) P_{4} (x) d x$
の値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

球面調和関数による展開の係数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））
ベッセル関数による展開（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））