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特殊関数・漸近解析の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル証明問題大学院数学特殊関数・漸近解析

$0$ 以上の整数 $n$ に対して、ルジャンドル多項式 $P_{n} (x)$ を
$P_{n} (x) = \frac{1}{2 ^{n} n !} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (x^{2} - 1)^{n}$
で定める（ $n = 0$ のときは $P_{0} (x) = 1$ である）。 $P_{n}^{'} (x)$ は $P_{n} (x)$ の $x$ についての導関数を表す。このとき、すべての $0$ 以上の整数 $n$ に対して
$\int_{- 1}^{1} (P_{n}^{'} (x))^{2} d x = n (n + 1)$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- $P_{n}$ は次数がちょうど $n$ の実係数多項式である。
- $P_{n} (1) = 1$ であり、すべての実数 $x$ に対して $P_{n} (- x) = (- 1)^{n} P_{n} (x)$ である。
- $0$ 以上の整数 $m, n$ に対して $\int_{- 1}^{1} P_{m} (x) P_{n} (x) d x = \frac{2}{2 n + 1} δ_{mn}$ である（ $δ_{mn}$ はクロネッカーのデルタ）。

この問題で使うもの

ルジャンドル多項式の直交性と漸化式（説明と入口の問題）
等差・等比数列の和と Σ（説明と入口の問題）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（63 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$P_{n}^{'}$ は次数 $n - 1$ の多項式なので、 $P_{0}, \dots, P_{n - 1}$ の一次結合で書けます。係数が分かれば、直交関係により $\int (P_{n}^{'})^{2}$ は係数の 2 乗の重み付き和で表せます。

ヒント 2

係数は $c_{j} = \frac{2 j + 1}{2} \int_{- 1}^{1} P_{n}^{'} P_{j} d x$ です。部分積分すると、 $P_{n}$ が次数 $n - 1$ 以下の多項式と直交することから積分の項が消え、境界値 $P_{n} (\pm 1) P_{j} (\pm 1)$ だけが残ります。

ヒント 3

境界項は $1 - (- 1)^{n + j}$ になり、 $P_{n}^{'} = \sum (2 j + 1) P_{j}$ （和は $0 \leq j \leq n - 1$ で $n - j$ が奇数のもの）が得られます。あとは $\int (P_{n}^{'})^{2} = 2 \sum (2 j + 1)$ を $n$ の偶奇で場合分けして計算します。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$P_{0}, \dots, P_{n - 1}$ が次数 $n - 1$ 以下の多項式の空間の基底であることを次数から示し、 $P_{n}$ が次数 $n - 1$ 以下の多項式と直交することを導いている（2 点）
$P_{n}^{'} = \sum_{j < n} c_{j} P_{j}$ と展開し、係数を直交関係から $c_{j} = \frac{2 j + 1}{2} \int P_{n}^{'} P_{j}$ と表している（1 点）
部分積分で $\int P_{n}^{'} P_{j}$ を境界項 $1 - (- 1)^{n + j}$ に帰着させ（残る積分が消える理由を直交性で説明し）、 $c_{j} = 2 j + 1$ （ $n + j$ 奇数）、 $0$ （偶数）を導いている（3 点）
展開を 2 乗して積分し、直交関係で交差項を消して $\int (P_{n}^{'})^{2} = 2 \sum (2 j + 1)$ を得ている（2 点）
$n$ の偶奇で場合分けして和を計算し、 $n = 0$ の場合も含めて $n (n + 1)$ と結論している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

方針: $P_{n}^{'}$ をルジャンドル多項式で展開し、その係数を部分積分と直交関係で決める。展開が分かれば、直交関係により $\int (P_{n}^{'})^{2}$ は係数の 2 乗を重み付きで足したものとして計算できる。

ステップ 0（ $n = 0$ の場合）. $P_{0} = 1$ なので $P_{0}^{'} = 0$ で、左辺は $0$ 、右辺も $0 \cdot 1 = 0$ である。以下 $n \geq 1$ とする。

ステップ 1（補題: $P_{n}$ は次数 $n - 1$ 以下の多項式と直交する）. 次数 $n - 1$ 以下の実係数多項式全体を $V_{n - 1}$ とする（ $dim V_{n - 1} = n$ ）。 $P_{0}, \dots, P_{n - 1}$ の次数はそれぞれちょうど $0, 1, \dots, n - 1$ である。一次結合 $\sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} P_{k} = 0$ があり、ある $a_{k} \neq = 0$ とすると、 $a_{k} \neq = 0$ となる最大の $k$ について左辺は次数ちょうど $k$ の多項式になり $0$ に矛盾する。よって $P_{0}, \dots, P_{n - 1}$ は一次独立であり、 $n$ 個あるから $V_{n - 1}$ の基底になる。したがって任意の $q \in V_{n - 1}$ は $q = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_{k} P_{k}$ と書け、直交関係（ $k \neq = n$ のとき $\int P_{n} P_{k} = 0$ ）から
$\int_{- 1}^{1} P_{n} (x) q (x) d x = k = 0 \sum n - 1 b_{k} \int_{- 1}^{1} P_{n} (x) P_{k} (x) d x = 0.$

ステップ 2（ $P_{n}^{'}$ の展開係数）. $P_{n}$ は次数 $n$ なので $P_{n}^{'}$ は次数 $n - 1$ の多項式であり、 $P_{n}^{'} \in V_{n - 1}$ である。ステップ 1 の基底で
$P_{n}^{'} (x) = k = 0 \sum n - 1 c_{k} P_{k} (x)$
と一意に書ける。両辺に $P_{j}$ $(0 \leq j \leq n - 1)$ を掛けて $[- 1, 1]$ で積分し、直交関係を使うと
$\int_{- 1}^{1} P_{n}^{'} P_{j} d x = c_{j} \cdot \frac{2}{2 j + 1}, すなわち c_{j} = \frac{2 j + 1}{2} \int_{- 1}^{1} P_{n}^{'} (x) P_{j} (x) d x .$
部分積分により
$\int_{- 1}^{1} P_{n}^{'} P_{j} d x = [P_{n} P_{j}]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} P_{n} P_{j}^{'} d x .$
$P_{j}^{'}$ は次数 $j - 1 \leq n - 2$ の多項式（ $j = 0$ なら $0$ ）なので $P_{j}^{'} \in V_{n - 1}$ であり、ステップ 1 より右辺の積分は $0$ である。境界項は、 $P_{m} (1) = 1$ と $P_{m} (- 1) = (- 1)^{m} P_{m} (1) = (- 1)^{m}$ （偶奇性で $x = 1$ とした）より
$P_{n} (1) P_{j} (1) - P_{n} (- 1) P_{j} (- 1) = 1 - (- 1)^{n} (- 1)^{j} = 1 - (- 1)^{n + j} .$
よって
$c_{j} = \frac{2 j + 1}{2} (1 - (- 1)^{n + j}) = {2 j + 1 0 (n + j が奇数), (n + j が偶数) .$
すなわち $J_{n} = {j ∣ 0 \leq j \leq n - 1, n - j は奇数}$ とおくと（ $n + j$ と $n - j$ の偶奇は同じ）
$P_{n}^{'} (x) = j \in J_{n} \sum (2 j + 1) P_{j} (x) . (1)$

ステップ 3（2 乗の積分）. $(1)$ の右辺どうしを掛けて積分すると
$\int_{- 1}^{1} (P_{n}^{'})^{2} d x = j \in J_{n} \sum l \in J_{n} \sum (2 j + 1) (2 l + 1) \int_{- 1}^{1} P_{j} P_{l} d x$
であり、直交関係により $j \neq = l$ の項は $0$ 、 $j = l$ の項は $(2 j + 1)^{2} \cdot \frac{2}{2 j + 1}$ となるので
$\int_{- 1}^{1} (P_{n}^{'})^{2} d x = j \in J_{n} \sum (2 j + 1)^{2} \cdot \frac{2}{2 j + 1} = 2 j \in J_{n} \sum (2 j + 1) . (2)$

ステップ 4（和の計算）. $n$ の偶奇で場合分けする。
- $n = 2 m$ （ $m \geq 1$ ）のとき、 $J_{n} = {1, 3, \dots, 2 m - 1}$ で、 $j = 2 i - 1$ $(i = 1, \dots, m)$ と書けて $2 j + 1 = 4 i - 1$ 。よって
$j \in J_{n} \sum (2 j + 1) = i = 1 \sum m (4 i - 1) = 2 m (m + 1) - m = m (2 m + 1),$
であり、 $(2)$ は $2 m (2 m + 1) = n (n + 1)$ となる。
- $n = 2 m + 1$ （ $m \geq 0$ ）のとき、 $J_{n} = {0, 2, \dots, 2 m}$ で、 $j = 2 i$ $(i = 0, \dots, m)$ と書けて $2 j + 1 = 4 i + 1$ 。よって
$j \in J_{n} \sum (2 j + 1) = i = 0 \sum m (4 i + 1) = 2 m (m + 1) + (m + 1) = (m + 1) (2 m + 1),$
であり、 $(2)$ は $(2 m + 2) (2 m + 1) = n (n + 1)$ となる。

$n \geq 1$ はどちらかの場合に必ず当てはまり、ステップ 0 の $n = 0$ の場合と合わせて、すべての $0$ 以上の整数 $n$ に対して
$\int_{- 1}^{1} (P_{n}^{'} (x))^{2} d x = n (n + 1)$
が示された。

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