特殊関数・漸近解析の問題

$0$ 以上の整数 $n$ に対し、エルミート多項式 $H_n(x)$ を
$$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}$$
で定める（$H_0(x)=1,H_1(x)=2x,H_2(x)=4x^2-2,\dots$）。このとき、積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{H}_2(x)H_4(x)e^{-x^2}dx$$
の値を求めよ。

$0$ 以上の整数 $n$ に対し、ルジャンドル多項式 $P_n(x)$ をロドリゲスの公式
$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n$$
で定める。$P_n$ は直交関係
$${\int }_{-1}^1{P}_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}(m,n\ge 0)$$
と、$n\ge 1$ に対する漸化式
$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x)$$
を満たす（${\delta }_{mn}$ はクロネッカーのデルタ）。これらを用いて、定積分
$$I={\int }_{-1}^{1}x{P}_3(x)P_4(x)dx$$
の値を求めよ。

$0$ 以上の整数 $n$ に対して、ルジャンドル多項式 $P_n(x)$ を
$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}{\left(x^2-1\right)}^n$$
で定める（$n=0$ のときは $P_0(x)=1$ である）。$P_n^{\prime }(x)$ は $P_n(x)$ の $x$ についての導関数を表す。このとき、すべての $0$ 以上の整数 $n$ に対して
$${\int }_{-1}^1(P_n^{\prime }(x){)}^{2}dx=n(n+1)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- $P_n$ は次数がちょうど $n$ の実係数多項式である。
- $P_n(1)=1$ であり、すべての実数 $x$ に対して $P_n(-x)=(-1{)}^n{P}_n(x)$ である。
- $0$ 以上の整数 $m,n$ に対して ${\int }_{-1}^1{P}_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}$ である（${\delta }_{mn}$ はクロネッカーのデルタ）。

$0$ 以上の整数 $n$ に対し、エルミート多項式 $H_n(x)$ を
$$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}$$
で定める。$H_n$ は直交関係
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{H}_m(x)H_n(x)e^{-x^2}dx=2^{n}n!\sqrt{\pi }{\delta }_{mn}(m,n\ge 0)$$
と、$n\ge 1$ に対する漸化式
$$x{H}_n(x)=\frac{1}{2}{H}_{n+1}(x)+n{H}_{n-1}(x)$$
を満たす（${\delta }_{mn}$ はクロネッカーのデルタ）。これらを用いて、広義積分
$$J={\int }_{-\infty }^{\infty }x{H}_2(x)H_3(x)e^{-x^2}dx$$
の値を求めよ。

実数 $x$ に対し、第 1 種ベッセル関数 $J_0(x)$ をべき級数
$$J_0(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(k!{)}^2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k}$$
で定める（すべての実数 $x$ で $|J_0(x)|\le 1$ である）。広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }{x}^2{e}^{-2x}{J}_0(x)dx$$
の値を求めよ。