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特殊関数・漸近解析の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学特殊関数・漸近解析

実数 $x$ に対し、第 1 種ベッセル関数 $J_{0} (x)$ をべき級数
$J_{0} (x) = k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{( k ! ) ^{2}} (\frac{x}{2})^{2 k}$
で定める（すべての実数 $x$ で $∣ J_{0} (x) ∣ \leq 1$ である）。広義積分
$I = \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- 2 x} J_{0} (x) d x$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

ベッセル関数のラプラス変換と積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（72 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「ベッセル関数のラプラス変換と積分」を使う。まず $L (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- s x} J_{0} (x) d x$ をべき級数の項別積分で求め、そのあと $s$ で微分する。

ヒント 2

$\int_{0}^{\infty} x^{2 k} e^{- s x} d x = \frac{( 2 k )!}{s ^{2 k + 1}}$ と $k \sum (k 2 k) u^{k} = \frac{1}{1 - 4 u}$ から $L (s) = \frac{1}{1 + s ^{2}}$ 。また $\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- s x} J_{0} (x) d x = L^{''} (s)$ 。

ヒント 3

$L^{''} (s) = \frac{2 s ^{2} - 1}{( 1 + s ^{2} ) ^{5/2}}$ となる。あとは $s = 2$ を代入する。

答えと解説

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\frac{7 5}{125}

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解説を読む

1. ラプラス変換 $L (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- s x} J_{0} (x) d x$ を求める（ $s > 1$ ）.
$\int_{0}^{\infty} x^{2 k} e^{- s x} d x = \frac{( 2 k )!}{s ^{2 k + 1}}$ を使って項別積分すると
$L (s) = k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{( k ! ) ^{2} 4 ^{k}} \cdot \frac{( 2 k )!}{s ^{2 k + 1}} = \frac{1}{s} k = 0 \sum \infty (k 2 k) (- \frac{1}{4 s ^{2}})^{k} .$
二項展開 $(1 - 4 u)^{- 1/2} = k = 0 \sum \infty (k 2 k) u^{k} (∣ u ∣ < \frac{1}{4})$ で $u = - \frac{1}{4 s ^{2}}$ とすると
$L (s) = \frac{1}{s} (1 + \frac{1}{s ^{2}})^{- 1/2} = \frac{1}{1 + s ^{2}} .$
項別積分してよいのは、絶対値の和が $\frac{1}{s} k \sum (k 2 k) (\frac{1}{4 s ^{2}})^{k} = \frac{1}{s} (1 - \frac{1}{s ^{2}})^{- 1/2} < \infty$ （ $s > 1$ ）となり、優収束定理（級数の項別積分）が使えるからである。

2. $s$ で 2 回微分する. $∣ J_{0} (x) ∣ \leq 1$ より、 $s \geq s_{0} > 1$ で $∣ x^{j} e^{- s x} J_{0} (x) ∣ \leq x^{j} e^{- s_{0} x}$ （可積分）なので、積分記号の下で微分できる。 $\frac{\partial ^{2}}{\partial s ^{2}} e^{- s x} = x^{2} e^{- s x}$ より
$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- s x} J_{0} (x) d x = L^{''} (s) .$
$L (s) = (1 + s^{2})^{- 1/2}$ を微分すると
$L^{'} (s) = - s (1 + s^{2})^{- 3/2},$
$L^{''} (s) = - (1 + s^{2})^{- 3/2} + 3 s^{2} (1 + s^{2})^{- 5/2} = \frac{- ( 1 + s ^{2} ) + 3 s ^{2}}{( 1 + s ^{2} ) ^{5/2}} = \frac{2 s ^{2} - 1}{( 1 + s ^{2} ) ^{5/2}} .$

3. $s = 2$ を代入する.
$I = L^{''} (2) = \frac{2 \cdot 4 - 1}{5 ^{5/2}} = \frac{7}{25 5} = \frac{7 5}{125} .$

別解

$J_{0}$ のラプラス変換は $\int_{0}^{\infty} e^{- s x} J_{0} (x) d x = (s^{2} + 1)^{- 1/2}$ （ $s > 0$ ）。項別積分で確かめると $\sum_{k} \frac{( - 1 ) ^{k} ( 2 k )!}{( k ! ) ^{2} 4 ^{k}} s^{- 2 k - 1} = \frac{1}{s} (1 + s^{- 2})^{- 1/2}$ となる（ $s > 1$ で成立し、解析接続で $s > 0$ ）。
$x^{2}$ をかけた積分は $s$ による 2 階微分に等しい（ $∣ J_{0} ∣ \leq 1$ より $s > 0$ で微分と積分の交換可能）:
$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- s x} J_{0} (x) d x = \frac{d ^{2}}{d s ^{2}} (s^{2} + 1)^{- 1/2} .$
$\frac{d}{d s} (s^{2} + 1)^{- 1/2} = - s (s^{2} + 1)^{- 3/2}$ 、 $\frac{d ^{2}}{d s ^{2}} = - (s^{2} + 1)^{- 3/2} + 3 s^{2} (s^{2} + 1)^{- 5/2} = \frac{2 s ^{2} - 1}{( s ^{2} + 1 ) ^{5/2}}$ 。
$s = 2$ を代入して $I = \frac{7}{5 ^{5/2}} = \frac{7}{25 5} = \frac{7 5}{125} \approx 0.1252$ 。
検算: $J_{0} (x) \approx 1 - x^{2} /4 + x^{4} /64$ を用いた概算で $\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- 2 x} d x = 1/4$ 、 $- \frac{1}{4} \int x^{4} e^{- 2 x} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{24}{32} = - 0.1875$ 、 $+ \frac{1}{64} \int x^{6} e^{- 2 x} = \frac{1}{64} \cdot \frac{720}{128} = 0.0879$ 、次項 $- \frac{1}{2304} \cdot \frac{40320}{512} = - 0.0342$ 、…と交代しながら $0.125$ 付近に収束する。

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