特殊関数・漸近解析の問題

方針 区間 $[0,1]$ 上の重み $x$ に関する直交系 $\{J_1({\beta }_{k}x){\}}_{k\ge 1}$（フーリエ・ベッセル展開）を使い、うまく選んだ関数を展開してパーセバルの等式を適用する。この直交系は $L^2([0,1],xdx)$ で完全であること（フーリエ・ベッセル展開の完全性）は既知として用いる。

使う公式 一般の $J_{\nu }$ について、次が成り立つ。
$$\frac{d}{dx}[x^{\nu }{J}_{\nu }(x)]=x^{\nu }{J}_{\nu -1}(x),J_{\nu -1}(x)+J_{\nu +1}(x)=\frac{2\nu }{x}{J}_{\nu }(x).$$
また $J_1^{\prime }(x)=J_0(x)-\frac{1}{x}{J}_1(x)$ である。

(1) ノルム $\beta$ を $J_1$ の正の零点とすると、ベッセルの微分方程式から得られる公式
$${\int }_0^{1}x{J}_{\nu }(\beta x{)}^{2}dx=\frac{1}{2}\left[J_{\nu }^{\prime }(\beta {)}^2+\left(1-\frac{{\nu }^2}{{\beta }^2}\right)J_{\nu }(\beta {)}^2\right]$$
に $\nu =1$ を代入する。$J_1(\beta )=0$ より $J_1^{\prime }(\beta )=J_0(\beta )$ なので
$${\int }_0^{1}x{J}_1(\beta x{)}^{2}dx=\frac{1}{2}{J}_0(\beta {)}^2.$$
零点は単純なので $J_0(\beta )=J_1^{\prime }(\beta )\ne 0$ である。

(2) 零点での値 漸化式で $\nu =1$ とすると $J_0(\beta )+J_2(\beta )=\frac{2}{\beta }{J}_1(\beta )=0$ より $J_2(\beta )=-J_0(\beta )$ である。$\nu =2$ とすると $J_1(\beta )+J_3(\beta )=\frac{4}{\beta }{J}_2(\beta )$ より $J_3(\beta )=-\frac{4J_0(\beta )}{\beta }$ である。

(3) 展開する関数 $f(x)=x(1-x^2)$ を展開する。微分公式から $\frac{d}{dx}[x^2{J}_2(\beta x)]=\beta x^2{J}_1(\beta x)$、$\frac{d}{dx}[x^3{J}_3(\beta x)]=\beta x^3{J}_2(\beta x)$ が成り立つ。部分積分すると
$${\int }_0^1{x}^2(1-x^2)J_1(\beta x)dx={\left[\frac{(1-x^2)x^2{J}_2(\beta x)}{\beta }\right]}_0^1+\frac{2}{\beta }{\int }_0^1{x}^3{J}_2(\beta x)dx=\frac{2}{\beta }\cdot \frac{J_3(\beta )}{\beta }=\frac{2J_3(\beta )}{{\beta }^2}=-\frac{8J_0(\beta )}{{\beta }^3}.$$
よって $f(x)={\sum }_k{c}_k{J}_1({\beta }_{k}x)$ の係数は
$$c_k=\frac{{\int }_0^{1}xf(x)J_1({\beta }_{k}x)dx}{{\int }_0^{1}x{J}_1({\beta }_{k}x{)}^{2}dx}=\frac{-8J_0({\beta }_k)/{\beta }_k^3}{J_0({\beta }_k{)}^2/2}=-\frac{16}{{\beta }_k^3{J}_0({\beta }_k)}.$$

(4) パーセバルの等式 左辺は
$${\int }_0^{1}xf(x{)}^{2}dx={\int }_0^1(x^3-2x^5+x^7)dx=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{8}=\frac{1}{24}.$$
右辺は
$$\sum _k{c}_k^2\cdot \frac{J_0({\beta }_k{)}^2}{2}=\sum _k\frac{256}{{\beta }_k^6{J}_0({\beta }_k{)}^2}\cdot \frac{J_0({\beta }_k{)}^2}{2}=128\sum _k\frac{1}{{\beta }_k^6}.$$
したがって
$$S=\frac{1}{24\cdot 128}=\frac{1}{3072}.$$

(検算) 無限積表示 $\frac{2J_1(x)}{x}={\prod }_k\left(1-\frac{x^2}{{\beta }_k^2}\right)$ と級数 $1-\frac{x^2}{8}+\frac{x^4}{192}-\frac{x^6}{9216}+\cdots$ を比べる。$1/{\beta }_k^2$ の基本対称式は $e_1=\frac{1}{8}$、$e_2=\frac{1}{192}$、$e_3=\frac{1}{9216}$ となる。ニュートンの公式より
$$p_3=e_1^3-3e_1{e}_2+3e_3=\frac{1}{512}-\frac{1}{512}+\frac{1}{3072}=\frac{1}{3072}$$
となり、一致する。

答え: $S=\frac{1}{3072}$

$J_1(x)/(x/2)$ は $t=x^2/4$ の整関数 $f(t)={\sum }_{k\ge 0}\frac{(-1{)}^k{t}^k}{k!(k+1)!}=1-\frac{t}{2}+\frac{t^2}{12}-\frac{t^3}{144}+\cdots$ であり、零点は $t=a_k={\beta }_k^2/4$ である。位数が 1/2 未満なので Hadamard の因数分解により $f(t)={\prod }_k(1-t/a_k)$ と書ける。

両辺の対数をとると $\log f(t)=-{\sum }_{n\ge 1}\frac{{\sigma }_n}{n}{t}^n$。ただし ${\sigma }_n={\sum }_k{a}_k^{-n}$。

$u=-\frac{t}{2}+\frac{t^2}{12}-\frac{t^3}{144}$ とおくと $\log (1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}-\cdots$。ここで $u^2=\frac{t^2}{4}-\frac{t^3}{12}+\cdots$、$u^3=-\frac{t^3}{8}+\cdots$ である。

• $t$ の係数: $-\frac{1}{2}$
• $t^2$ の係数: $\frac{1}{12}-\frac{1}{8}=-\frac{1}{24}$
• $t^3$ の係数: $-\frac{1}{144}+\frac{1}{24}-\frac{1}{24}=-\frac{1}{144}$

よって ${\sigma }_1=\frac{1}{2}$、${\sigma }_2=\frac{1}{12}$、${\sigma }_3=\frac{3}{144}=\frac{1}{48}$。

${\beta }_k^{-6}=\frac{1}{64a_k^3}$ だから $S=\frac{{\sigma }_3}{64}=\frac{1}{3072}$。

検算: ${\sigma }_1$ から $\sum {\beta }_k^{-2}={\sigma }_1/4=\frac{1}{8}$、${\sigma }_2$ から $\sum {\beta }_k^{-4}={\sigma }_2/16=\frac{1}{192}$ となり、いずれも既知の Rayleigh 和と一致する。