ベッセル関数の母関数と級数の和

母関数 $e^{\frac{x}{2} (t - 1/ t)} = \sum J_{n} (x) t^{n}$ に $t = e^{i θ}$ を代入して $e^{i x s i n θ} = \sum J_{n} (x) e^{in θ}$ とし、 $θ$ で微分してパーセバルの等式を使うことで、 $\sum J_{n} (x)^{2} = 1$ , $\sum n^{2} J_{n} (x)^{2} = \frac{x ^{2}}{2}$ のような和を求められる。べき級数表示 $J_{n} (x) = \sum_{k} \frac{( - 1 ) ^{k}}{k ! ( n + k )!} (\frac{x}{2})^{2 k + n}$ も使える

前提

オイラーの公式（大学数学微分積分）
パーセバルの等式と級数の和（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

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算数中学高校大学大学院

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オイラーの公式（大学数学微分積分）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
三角関数の積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
パーセバルの等式と級数の和（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

説明

整数次のベッセル関数 $J_{n} (x)$ は、母関数 $e^{\frac{x}{2} (t - \frac{1}{t})} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} J_{n} (x) t^{n}$ のローラン展開の係数としてまとめて扱えます。この技能では、 $t = e^{i θ}$ を代入して $e^{i x s i n θ}$ のフーリエ級数を作り、 $θ$ で微分してからパーセバルの等式を使うことで、 $\sum J_{n} (x)^{2} = 1$ や $\sum n^{2} J_{n} (x)^{2} = \frac{x ^{2}}{2}$ のような、ベッセル関数の 2 乗を含む無限和を閉じた形で求められるようになります。FM 変調のスペクトルの全エネルギーや、波動・振動の問題に出る和の計算で使います。

なぜそうしてよいのか

まず母関数の係数が $J_{n}$ になることを確かめます。 $t \neq = 0$ で $e^{\frac{x t}{2}} = \sum_{j \geq 0} \frac{1}{j !} (\frac{x}{2})^{j} t^{j}$ , $e^{- \frac{x}{2 t}} = \sum_{k \geq 0} \frac{( - 1 ) ^{k}}{k !} (\frac{x}{2})^{k} t^{- k}$ はどちらも絶対収束するので、掛けて項を並べ替えてよく、 $t^{n}$ $(n \geq 0)$ の係数は $j = n + k$ の項を集めて $\sum_{k \geq 0} \frac{( - 1 ) ^{k}}{k ! ( n + k )!} (\frac{x}{2})^{2 k + n} = J_{n} (x)$ になります。また母関数は $t \mapsto - \frac{1}{t}$ で変わらないので、係数を比べて $J_{- n} (x) = (- 1)^{n} J_{n} (x)$ 、特に $J_{- n} (x)^{2} = J_{n} (x)^{2}$ です。 $x$ が実数なら $J_{n} (x)$ も実数です。

次に $t = e^{i θ}$ とすると、オイラーの公式から $\frac{1}{2} (t - \frac{1}{t}) = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2} = i sin θ$ なので
$f (θ) = e^{i x s i n θ} = n = - \infty \sum \infty J_{n} (x) e^{in θ}$
となります。これは周期 $2 π$ の関数 $f$ の（複素形の）フーリエ級数で、係数が $J_{n} (x)$ です。 $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} e^{i (m - n) θ} d θ$ が $m = n$ のとき 1、それ以外で 0 であることから、パーセバルの等式は複素形で $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} ∣ f (θ) ∣^{2} d θ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} ∣ c_{n} ∣^{2}$ （ $c_{n}$ は $e^{in θ}$ の係数）と書けます。

$x$ が実数なら $∣ f (θ) ∣ = 1$ なので、左辺は $1$ 、よって $\sum_{n = - \infty}^{\infty} J_{n} (x)^{2} = 1$ 。さらに $f$ を $θ$ で微分すると、左辺は合成関数の微分で $f^{'} (θ) = i x cos θ e^{i x s i n θ}$ 、右辺は項別に $\sum in J_{n} (x) e^{in θ}$ です（ $J_{n} (x)$ は $∣ n ∣$ が大きいと $\frac{( ∣ x ∣/2 ) ^{∣ n ∣}}{∣ n ∣ !}$ 程度に急速に小さくなるので、項別微分してよい）。 $∣ f^{'} (θ) ∣^{2} = x^{2} cos^{2} θ$ の平均は $\frac{x ^{2}}{2}$ なので、 $\sum_{n = - \infty}^{\infty} n^{2} J_{n} (x)^{2} = \frac{x ^{2}}{2}$ が得られます。微分の回数を増やせば $\sum n^{2 k} J_{n} (x)^{2}$ も同じように求まります。

手順

母関数に $t = e^{i θ}$ を代入し、 $f (θ) = e^{i x s i n θ} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} J_{n} (x) e^{in θ}$ と、 $J_{n} (x)$ を係数とするフーリエ級数を作る
求めたい和に $n^{2 k}$ が掛かっていれば、両辺を $θ$ で $k$ 回微分する。右辺の係数は $(in)^{k} J_{n} (x)$ になり、左辺は合成関数の微分で計算する（例: $f^{'} = i x cos θ f$ ）
パーセバルの等式 $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} ∣ f^{(k)} (θ) ∣^{2} d θ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} n^{2 k} J_{n} (x)^{2}$ を書き、 $x$ が実数なので $∣ e^{i x s i n θ} ∣ = 1$ を使って左辺を三角関数の積分にする
左辺の積分（ $cos^{2} θ$ の平均 $\frac{1}{2}$ など）を計算する
和の範囲が $n \geq 0$ や $n \geq 1$ のときは、 $J_{- n} (x)^{2} = J_{n} (x)^{2}$ を使って $\sum_{n = - \infty}^{\infty}$ との関係に直す

例題

$x$ を実数とし、 $J_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{k}}{k ! ( n + k )!} (\frac{x}{2})^{2 k + n}$ $(n \geq 0)$ 、 $J_{- n} (x) = (- 1)^{n} J_{n} (x)$ とする。母関数 $e^{\frac{x}{2} (t - \frac{1}{t})} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} J_{n} (x) t^{n}$ を用いて、 $n = 1 \sum \infty n^{2} J_{n} (x)^{2}$ を $x$ の式で求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $t = e^{i θ}$ を代入すると $\frac{1}{2} (t - \frac{1}{t}) = i sin θ$ より $f (θ) = e^{i x s i n θ} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} J_{n} (x) e^{in θ}$ 。

【手順 2】 $n^{2}$ が掛かっているので 1 回微分する。 $f^{'} (θ) = i x cos θ e^{i x s i n θ} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} in J_{n} (x) e^{in θ}$ 。

【手順 3】パーセバルの等式より $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} ∣ f^{'} (θ) ∣^{2} d θ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} n^{2} J_{n} (x)^{2}$ 。 $x$ は実数なので $∣ e^{i x s i n θ} ∣ = 1$ 、よって $∣ f^{'} (θ) ∣^{2} = x^{2} cos^{2} θ$ 。

【手順 4】 $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} x^{2} cos^{2} θ d θ = \frac{x ^{2}}{2 π} \int_{- π}^{π} \frac{1 + c o s 2 θ}{2} d θ = \frac{x ^{2}}{2}$ 。したがって $\sum_{n = - \infty}^{\infty} n^{2} J_{n} (x)^{2} = \frac{x ^{2}}{2}$ 。

【手順 5】 $n = 0$ の項は $0$ で、 $J_{- n} (x)^{2} = J_{n} (x)^{2}$ より $n$ と $- n$ の項は等しいので、 $\sum_{n = - \infty}^{\infty} n^{2} J_{n} (x)^{2} = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} n^{2} J_{n} (x)^{2}$ 。よって $\sum_{n = 1}^{\infty} n^{2} J_{n} (x)^{2} = \frac{x ^{2}}{4}$ 。

答え: $\frac{x ^{2}}{4}$

よくある誤り

負の添字を忘れて $\sum_{n = 0}^{\infty} J_{n} (x)^{2} = 1$ としてしまう誤り。和は $n \in Z$ 全体にわたり、 $J_{- n}^{2} = J_{n}^{2}$ より正しくは $J_{0} (x)^{2} + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} J_{n} (x)^{2} = 1$
パーセバルの等式の係数を取り違え、 $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} ∣ f ∣^{2} d θ = \sum ∣ c_{n} ∣^{2}$ としてしまう誤り。 $e^{in θ}$ で展開した複素形では、正しくは $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} ∣ f (θ) ∣^{2} d θ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} ∣ c_{n} ∣^{2}$ （ $\frac{1}{π}$ は $\frac{a _{0}^{2}}{2} + \sum (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})$ の実形のときの係数）
$θ$ で微分するときに合成関数の微分を落とし、 $f^{'} (θ) = i x e^{i x s i n θ}$ として $\sum n^{2} J_{n}^{2} = x^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $f^{'} (θ) = i x cos θ e^{i x s i n θ}$ で、 $cos^{2} θ$ の平均 $\frac{1}{2}$ が掛かって $\sum_{n = - \infty}^{\infty} n^{2} J_{n} (x)^{2} = \frac{x ^{2}}{2}$
$x$ が実数でないのに $∣ e^{i x s i n θ} ∣ = 1$ を使ってしまう誤り。例えば $x = i y$ $(y$ 実数 $)$ では $∣ e^{i x s i n θ} ∣ = e^{- y s i n θ}$ で $1$ ではなく、また $J_{n} (x)$ も実数とは限らないので $∣ J_{n} ∣^{2} \neq = J_{n}^{2}$ となりうる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
整数 $n$ と実数 $x$ に対し、第 1 種ベッセル関数 $J_{n} (x)$ を母関数展開
$exp (\frac{x}{2} (t - \frac{1}{t})) = n = - \infty \sum \infty J_{n} (x) t^{n} (t \neq = 0)$
で定める。この展開は $t = e^{i θ}$ （ $θ$ は実数）とおいたあと $θ$ について項別に微分してよいものとする。実数 $x$ に対し、無限級数
$S (x) = k = 1 \sum \infty (2 k - 1) J_{2 k - 1} (x) = J_{1} (x) + 3 J_{3} (x) + 5 J_{5} (x) + \dots$
を $x$ の式で表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ベッセル関数のラプラス変換と積分（大学院数学特殊関数・漸近解析）