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特殊関数・漸近解析の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学特殊関数・漸近解析

整数 $n$ と実数 $x$ に対し、第 1 種ベッセル関数 $J_{n} (x)$ を母関数展開
$exp (\frac{x}{2} (t - \frac{1}{t})) = n = - \infty \sum \infty J_{n} (x) t^{n} (t \neq = 0)$
で定める。この展開は $t = e^{i θ}$ （ $θ$ は実数）とおいたあと $θ$ について項別に微分してよいものとする。実数 $x$ に対し、無限級数
$S (x) = k = 1 \sum \infty (2 k - 1) J_{2 k - 1} (x) = J_{1} (x) + 3 J_{3} (x) + 5 J_{5} (x) + \dots$
を $x$ の式で表せ。

この問題で使うもの

ベッセル関数の母関数と級数の和（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（63 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ベッセル関数の母関数に $t = e^{i θ}$ を代入し、 $θ$ で微分する技能を使う。

ヒント 2

$e^{i x s i n θ} = \sum_{n} J_{n} (x) e^{in θ}$ を $θ$ で微分して $θ = 0$ とおく。また $J_{- n} (x) = (- 1)^{n} J_{n} (x)$ を使う。

ヒント 3

$θ = 0$ で $x = \sum_{n = - \infty}^{\infty} n J_{n} (x)$ が得られる。 $n$ と $- n$ の項を組にすると、偶数番号の項が消える。

答えと解説

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\frac{x}{2}

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解説を読む

手順 1: $t = e^{i θ}$ を代入する.
$t - \frac{1}{t} = e^{i θ} - e^{- i θ} = 2 i sin θ$ なので
$e^{i x s i n θ} = n = - \infty \sum \infty J_{n} (x) e^{in θ} .$

手順 2: $θ$ で微分する. 両辺を $θ$ で微分すると
$i x cos θ e^{i x s i n θ} = n = - \infty \sum \infty in J_{n} (x) e^{in θ} .$
$θ = 0$ とおいて両辺を $i$ で割ると
$x = n = - \infty \sum \infty n J_{n} (x) .$

手順 3: 負の番号の項をまとめる. 母関数で $t$ を $- \frac{1}{t}$ に置き換えると左辺は変わらないので
$n \sum J_{n} (x) t^{n} = n \sum J_{n} (x) (- 1)^{n} t^{- n} = n \sum (- 1)^{n} J_{- n} (x) t^{n}$
となり、係数を比べて $J_{- n} (x) = (- 1)^{n} J_{n} (x)$ 。よって $n \geq 1$ について
$n J_{n} (x) + (- n) J_{- n} (x) = n (1 - (- 1)^{n}) J_{n} (x) = {2 n J_{n} (x) 0 (n が奇数) (n が偶数)$
で、 $n = 0$ の項は $0$ である。したがって
$x = 2 k = 1 \sum \infty (2 k - 1) J_{2 k - 1} (x) = 2 S (x), S (x) = \frac{x}{2} .$

検算. べき級数表示 $J_{n} (x) = \sum_{k} \frac{( - 1 ) ^{k}}{k ! ( n + k )!} (\frac{x}{2})^{2 k + n}$ より $J_{1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{x ^{3}}{16} + \dots$ , $J_{3} (x) = \frac{x ^{3}}{48} + \dots$ なので、 $J_{1} + 3 J_{3} = \frac{x}{2} + 0 \cdot x^{3} + \dots$ となり、 $x^{3}$ の係数まで一致する。

別解

$t = e^{i θ}$ とおくと $\frac{1}{2} (t - t^{- 1}) = i sin θ$ なので
$e^{i x s i n θ} = n = - \infty \sum \infty J_{n} (x) e^{in θ} .$
$θ$ で項別微分すると
$i x cos θ e^{i x s i n θ} = n \sum in J_{n} (x) e^{in θ} .$
$i$ で割って $θ = 0$ を代入すると
$x = n = - \infty \sum \infty n J_{n} (x) .$
$J_{- n} = (- 1)^{n} J_{n}$ を示す: 母関数で $t \to - 1/ t$ とおくと $\frac{x}{2} (- 1/ t + t)$ で不変なので $\sum J_{n} t^{n} = \sum J_{n} (- 1)^{n} t^{- n}$ 、係数を比べて $J_{- n} = (- 1)^{n} J_{n}$ 。

よって $n = - m$ ( $m \geq 1$ ) の項は $- m J_{- m} = - m (- 1)^{m} J_{m}$ 。したがって
$x = m \geq 1 \sum m J_{m} (1 - (- 1)^{m}) = 2 k \geq 1 \sum (2 k - 1) J_{2 k - 1} (x) = 2 S (x) .$
ゆえに $S (x) = \frac{x}{2}$ 。

検算: $x$ が小さいとき $J_{1} (x) \approx \frac{x}{2}$ 、 $J_{3} = O (x^{3})$ なので $S \approx \frac{x}{2}$ で整合する。

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