特殊関数・漸近解析の問題

母関数で $t=e^{i\theta }$（$\theta$ は実数）とおくと，$\frac{1}{2}(t-t^{-1})=i\sin \theta$ だから
$$f(\theta ):=e^{ix\sin \theta }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(x)e^{in\theta }.$$
すなわち $J_n(x)$ は $2\pi$ 周期の滑らかな関数 $f$ のフーリエ係数である。滑らかな周期関数のフーリエ係数は急減少するので，項別微分ができて
$$f^{\prime \prime }(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(in{)}^2{J}_n(x)e^{in\theta }=-\sum _n{n}^2{J}_n(x)e^{in\theta }.$$
$\{e^{in\theta }\}$ の $L^2(0,2\pi )$ における直交性（パーセヴァルの等式）と，$J_n(x)$ が実数であることから
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{n}^4{J}_n(x{)}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }|f^{\prime \prime }(\theta ){|}^{2}d\theta .$$
一方，直接微分すると
$$f^{\prime }(\theta )=ix\cos \theta e^{ix\sin \theta },f^{\prime \prime }(\theta )=\left(-x^2{\cos }^2\theta -ix\sin \theta \right)e^{ix\sin \theta }.$$
$|e^{ix\sin \theta }|=1$ より
$$|f^{\prime \prime }(\theta ){|}^2=x^4{\cos }^4\theta +x^2{\sin }^2\theta .$$
ここで
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\cos }^4\theta d\theta =\frac{3}{8},\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\sin }^2\theta d\theta =\frac{1}{2}$$
（${\cos }^4\theta =\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2\theta +\frac{1}{8}\cos 4\theta$ による）だから
$$S(x)=\frac{3}{8}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2.$$
（検算：$x\to 0$ で $J_{\pm 1}(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\cdots$，$J_{\pm 2}(x)=\frac{x^2}{8}+\cdots$ より $S(x)=2\left(\frac{x^2}{4}-\frac{x^4}{16}\right)+2\cdot 16\cdot \frac{x^4}{64}+O(x^6)=\frac{x^2}{2}+\frac{3}{8}{x}^4+O(x^6)$ となり一致する。）

$t=e^{i\theta }$ とすると $\frac{x}{2}(t-t^{-1})=ix\sin \theta$ なので $f(\theta )=e^{ix\sin \theta }={\sum }_n{J}_n(x)e^{in\theta }$。これは $f$ のフーリエ級数で、係数 $J_n(x)$ は実数。$f^{\prime \prime }(\theta )={\sum }_n(-n^2)J_n{e}^{in\theta }$ であり、パーセバルの等式より\n$$\sum _n{n}^4{J}_n(x{)}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }|f^{\prime \prime }(\theta ){|}^{2}d\theta .$$\n$\phi =x\sin \theta$ とすると $f^{\prime }=i{\phi }^{\prime }f$, $f^{\prime \prime }=(i{\phi }^{\prime \prime }-{\phi }^{\prime 2})f$、$|f|=1$ より $|f^{\prime \prime }{|}^2={\phi }^{\prime \prime 2}+{\phi }^{\prime 4}=x^2{\sin }^2\theta +x^4{\cos }^4\theta$。\n平均値は $\frac{1}{2\pi }\int {\sin }^2\theta d\theta =\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2\pi }\int {\cos }^4\theta d\theta =\frac{3}{8}$。よって\n$$S(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{3x^4}{8}.$$\n検算: 小さい $x$ では $J_{\pm 1}\approx \pm x/2$ が主要で $S\approx 2\cdot 1\cdot \frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{2}$ となり一致する。$x^4$ の項は $J_{\pm 1}^2$ の補正 $-x^4/16$ ずつ（$J_1=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}$ より $J_1^2=\frac{x^2}{4}-\frac{x^4}{16}+\cdots$、2 つ分で $-\frac{x^4}{8}$）と $J_{\pm 2}\approx \frac{x^2}{8}$ による $2\cdot 16\cdot \frac{x^4}{64}=\frac{x^4}{2}$ の和 $\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$ となり一致する。