ベッセル関数のラプラス変換と積分

べき級数を項別積分して $\int_{0}^{\infty} e^{- s x} J_{0} (x) d x = \frac{1}{1 + s ^{2}}$ を導き、 $s$ で微分して $\int_{0}^{\infty} x e^{- s x} J_{0} (x) d x = \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{3/2}}$ のような積分の値を求められる

前提

ベッセル関数の母関数と級数の和（大学院数学特殊関数・漸近解析）
ラプラス変換と逆変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
級数の項別積分（大学院数学測度論・実解析）

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算数中学高校大学大学院

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乗法公式による展開（中学数学数と式）
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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
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フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
パーセバルの等式と級数の和（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
ベッセル関数の母関数と級数の和（大学院数学特殊関数・漸近解析）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
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広義積分（大学数学微分積分）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
ラプラス変換と逆変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
ルベーグ積分の計算（大学院数学測度論・実解析）
単調収束定理・優収束定理（大学院数学測度論・実解析）
級数の項別積分（大学院数学測度論・実解析）

説明

ベッセル関数 $J_{0} (x) = \sum_{k \geq 0} \frac{( - 1 ) ^{k}}{( k ! ) ^{2}} (\frac{x}{2})^{2 k}$ のラプラス変換 $\int_{0}^{\infty} e^{- s x} J_{0} (x) d x = \frac{1}{1 + s ^{2}}$ を、べき級数の項別積分で導く方法を学びます。この式を $s$ で微分すれば、 $\int_{0}^{\infty} x^{m} e^{- s x} J_{0} (x) d x$ のような積分の値が代数的な計算だけで求まります。ベッセル関数を含む積分は直接の原始関数がとれないので、「級数に展開して項ごとに積分し、出てきた級数を閉じた形に戻す」という流れが基本的な道具になります。

なぜそうしてよいのか

$J_{0}$ のべき級数を代入し、各項のラプラス変換 $\int_{0}^{\infty} x^{2 k} e^{- s x} d x = \frac{( 2 k )!}{s ^{2 k + 1}}$ を使うと $k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k}}{( k ! ) ^{2} 4 ^{k}} \cdot \frac{( 2 k )!}{s ^{2 k + 1}} = \frac{1}{s} k \geq 0 \sum (k 2 k) (- \frac{1}{4 s ^{2}})^{k}$ となります。ここで一般二項展開 $(1 - 4 w)^{- 1/2} = \sum_{k \geq 0} (k 2 k) w^{k}$ （ $∣ w ∣ < \frac{1}{4}$ ）を思い出すと（ $(k - 1/2) (- 4)^{k} = (k 2 k)$ から確かめられます）、 $w = - \frac{1}{4 s ^{2}}$ として $\frac{1}{s} (1 + \frac{1}{s ^{2}})^{- 1/2} = \frac{1}{1 + s ^{2}}$ が得られます。和と積分の交換は優収束定理（項別積分）で正当化します。各項の絶対値の積分の和は $\sum_{k} \frac{( 2 k )!}{( k ! ) ^{2} 4 ^{k} s ^{2 k + 1}} = \frac{1}{s} (1 - \frac{1}{s ^{2}})^{- 1/2}$ で、これが有限なのは $s > 1$ のときです。したがって項別積分で直接示せるのは $s > 1$ の範囲です。

$0 < s \leq 1$ にも広げるには次のようにします。 $\sum_{n} J_{n} (x)^{2} = 1$ より $∣ J_{0} (x) ∣ \leq 1$ なので、 $F (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- s x} J_{0} (x) d x$ は $s > 0$ で定義され、 $s$ についての微分は積分記号の下でできます（ $s \geq s_{0} > 0$ で $∣ x^{m} e^{- s x} J_{0} (x) ∣ \leq x^{m} e^{- s_{0} x}$ が可積分な優関数になるので、平均値の定理と優収束定理が使えます）。一方 $J_{0}$ はべき級数を項別に微分して確かめられる方程式 $x J_{0}^{''} + J_{0}^{'} + x J_{0} = 0$ 、 $J_{0} (0) = 1$ 、 $J_{0}^{'} (0) = 0$ をみたし、 $J_{0}^{'} = - J_{1}$ 、 $J_{0}^{''} = \frac{J _{2} - J _{0}}{2}$ も有界です。この方程式の両辺に $e^{- s x}$ を掛けて積分し、部分積分と $\int_{0}^{\infty} xg (x) e^{- s x} d x = - \frac{d}{d s} \int_{0}^{\infty} g (x) e^{- s x} d x$ を使うと $(1 + s^{2}) F^{'} (s) + s F (s) = 0$ となります。これを解くと $s > 0$ 全体で $F (s) = \frac{C}{1 + s ^{2}}$ で、 $s > 1$ での結果と比べて $C = 1$ です。こうして $\int_{0}^{\infty} e^{- s x} J_{0} (x) d x = \frac{1}{1 + s ^{2}} (s > 0)$ が成り立ちます。

あとは微分です。積分記号の下で $s$ について $m$ 回微分すると、 $e^{- s x}$ から $(- x)^{m}$ が出るので $\int_{0}^{\infty} x^{m} e^{- s x} J_{0} (x) d x = (- 1)^{m} \frac{d ^{m}}{d s ^{m}} \frac{1}{1 + s ^{2}} (s > 0)$ です。たとえば $m = 1$ では $\frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{3/2}}$ となります。

手順

$J_{0} (x) = \sum_{k \geq 0} \frac{( - 1 ) ^{k}}{( k ! ) ^{2}} (\frac{x}{2})^{2 k}$ を $e^{- s x}$ と掛けて項別に積分する（ $s > 1$ で優収束定理が使える）
各項に $\int_{0}^{\infty} x^{2 k} e^{- s x} d x = \frac{( 2 k )!}{s ^{2 k + 1}}$ を使い、 $\frac{1}{s} \sum_{k} (k 2 k) (- \frac{1}{4 s ^{2}})^{k}$ にまとめる
一般二項展開 $\sum_{k} (k 2 k) w^{k} = (1 - 4 w)^{- 1/2}$ で閉じた形 $F (s) = \frac{1}{1 + s ^{2}}$ に戻す（ $s > 0$ 全体で成り立つ）
求めたい積分 $\int_{0}^{\infty} x^{m} e^{- s x} J_{0} (x) d x$ を $(- 1)^{m} F^{(m)} (s)$ と書く
$F (s) = (1 + s^{2})^{- 1/2}$ を $m$ 回微分し、与えられた $s$ を代入する

例題

$J_{0} (x) = k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{( k ! ) ^{2}} (\frac{x}{2})^{2 k}$ とする。広義積分 $\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- 3 x} J_{0} (x) d x$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1〜3】項別積分により $F (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- s x} J_{0} (x) d x = \frac{1}{s} \sum_{k \geq 0} (k 2 k) (- \frac{1}{4 s ^{2}})^{k} = \frac{1}{1 + s ^{2}}$ （ $s > 1$ で項別積分が正当化され、 $s > 0$ 全体でこの式が成り立つ）。今回は $s = 3 > 1$ なので、項別積分の範囲内に入っている。

【手順 4】 $s$ で 2 回微分すると $e^{- s x}$ から $(- x)^{2} = x^{2}$ が出るので $\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- s x} J_{0} (x) d x = F^{''} (s) .$ （ $s \geq s_{0} > 0$ で $x^{2} e^{- s_{0} x}$ が優関数になるので、積分記号の下での微分は許される。）

【手順 5】 $F (s) = (1 + s^{2})^{- 1/2}$ より $F^{'} (s) = - s (1 + s^{2})^{- 3/2}$ 、 $F^{''} (s) = - (1 + s^{2})^{- 3/2} + 3 s^{2} (1 + s^{2})^{- 5/2} = \frac{- ( 1 + s ^{2} ) + 3 s ^{2}}{( 1 + s ^{2} ) ^{5/2}} = \frac{2 s ^{2} - 1}{( 1 + s ^{2} ) ^{5/2}} .$ $s = 3$ を代入すると $1 + s^{2} = 4$ 、 $(1 + s^{2})^{5/2} = 4^{5/2} = 32$ 、 $2 s^{2} - 1 = 5$ なので、値は $\frac{5}{32}$ 。

答え: $\frac{5}{32}$

よくある誤り

微分で出る符号を落とし、 $\int_{0}^{\infty} x e^{- s x} J_{0} (x) d x = F^{'} (s) = - \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{3/2}}$ としてしまう誤り。 $\frac{\partial}{\partial s} e^{- s x} = - x e^{- s x}$ なので、正しくは $\int_{0}^{\infty} x e^{- s x} J_{0} (x) d x = - F^{'} (s) = \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{3/2}}$ 。一般に $x^{m}$ には $(- 1)^{m} F^{(m)} (s)$ が対応する
項別積分の結果の級数 $\frac{1}{s} \sum_{k} (k 2 k) (- \frac{1}{4 s ^{2}})^{k}$ に $s \leq 1$ の値を代入してしまう誤り。たとえば $s = \frac{1}{2}$ では $- \frac{1}{4 s ^{2}} = 1 > \frac{1}{4}$ で級数は発散し、項別積分の正当化（ $\sum \int ∣ f_{k} ∣ < \infty$ ）も $s > 1$ でしか成り立たない。正しくは閉じた形 $\frac{1}{1 + s ^{2}}$ を（微分方程式などで） $s > 0$ 全体に延ばしてから $s$ を代入する。たとえば $\int_{0}^{\infty} e^{- x /2} J_{0} (x) d x = \frac{2}{5}$
べき関数のラプラス変換を $\int_{0}^{\infty} x^{2 k} e^{- s x} d x = \frac{( 2 k )!}{s ^{2 k}}$ や $\frac{( k ! ) ^{2}}{s ^{2 k + 1}}$ としてしまう誤り。正しくは $\int_{0}^{\infty} x^{m} e^{- s x} d x = \frac{m !}{s ^{m + 1}}$ で、 $m = 2 k$ なら $\frac{( 2 k )!}{s ^{2 k + 1}}$ 。これと $J_{0}$ の係数 $\frac{1}{( k ! ) ^{2} 4 ^{k}}$ の積がちょうど $(k 2 k) \frac{1}{4 ^{k}}$ になる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
実数 $x$ に対し、第 1 種ベッセル関数 $J_{0} (x)$ をべき級数
$J_{0} (x) = k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{( k ! ) ^{2}} (\frac{x}{2})^{2 k}$
で定める（すべての実数 $x$ で $∣ J_{0} (x) ∣ \leq 1$ である）。広義積分
$I = \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- 2 x} J_{0} (x) d x$
の値を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
実数 $x$ に対し、第 1 種ベッセル関数 $J_{0} (x)$ をべき級数
$J_{0} (x) = k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{( k ! ) ^{2}} (\frac{x}{2})^{2 k}$
で定める。広義積分
$I = \int_{0}^{\infty} x e^{- 3 x} J_{0} (x) d x$
は収束する。 $I$ の値を求めよ。

この技能の次に学べること

ベッセル関数による展開（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））