物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）の問題

自由イオンの軌道角運動量 $L=6$ の多重項（$2L+1=13$ 重に縮退）を考える。このイオンを、正八面体の回転対称性をもつ結晶場の中に置く。対称群は八面体回転群 $O$（位数 $24$）とし、スピンとスピン軌道相互作用は無視する。

$O$ の指標表は次のとおりである（類は $E$, $8C_3$, $3C_2(=C_4^2)$, $6C_4$, $6C_2^{\prime }$ の順）。

$$\begin{array}{cccccc}& E& 8C_3& 3C_2& 6C_4& 6C_2^{\prime }\\ A_1& 1& 1& 1& 1& 1\\ A_2& 1& 1& 1& -1& -1\\ E& 2& -1& 2& 0& 0\\ T_1& 3& 0& -1& 1& -1\\ T_2& 3& 0& -1& -1& 1\end{array}$$

回転角 $\phi$ の回転に対する、角運動量 $L$ の $2L+1$ 次元表現 $D^{(L)}$ の指標は
$${\chi }^{(L)}(\phi )=\frac{\sin \left((2L+1)\phi /2\right)}{\sin (\phi /2)}(\phi \ne 0),{\chi }^{(L)}(0)=2L+1$$
で与えられる。$D^{(6)}$ を $O$ に制限した表現を既約分解したとき、$A_1,A_2,E,T_1,T_2$ が現れる回数をそれぞれ $n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2}$ とする。組 $(n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2})$ をこの順に求めよ。

三角錐形の分子 $\mathrm{X}{\mathrm{Y}}_3$（$\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3$ と同じ形で、X 原子が頂点、3 個の Y 原子が底面の正三角形の頂点にある）は点群 $C_{3v}$ の対称性をもつ。$C_{3v}$（位数 $6$）の類は $E$（$1$ 個）、$2C_3$（3 回軸のまわりの $\pm \frac{2\pi }{3}$ 回転, $2$ 個）、$3{\sigma }_v$（3 回軸を含む鏡映面, $3$ 個）で、指標表は次のとおりである。

ここで $z$ は 3 回軸の方向、$R_x,R_y,R_z$ は回転を表す。操作で動かない原子 1 個あたりの、その原子の変位 $(x,y,z)$ の 3 次元表現の指標は、角 $\theta$ の回転では $1+2\cos \theta$、鏡映では $1$ である。

12 次元の全運動（各原子の 3 方向の変位）の表現から並進と回転を除いた基準振動の表現を $m_{A_1}{A}_1\oplus m_{A_2}{A}_2\oplus m_{E}E$ と既約分解するとき、組 $(m_{A_1},m_{A_2},m_E)$ をこの順に求めよ。

軌道角運動量量子数 $l=5$ の $(2l+1)=11$ 重に縮退した 1 電子軌道（スピンとスピン軌道相互作用は無視する）が、正八面体の回転対称性をもつ結晶場（点群 $O$、位数 $24$）の中に置かれた。このとき、$11$ 次元の表現 $D^{(5)}$ は点群 $O$ の既約表現の直和に分解される。点群 $O$ の指標表は次のとおりとする（$C_2$ は 4 回軸まわりの $\pi$ 回転、$C_2^{\prime }$ は 2 回軸まわりの $\pi$ 回転）。

$$\begin{array}{cccccc}O& E& 8C_3& 3C_2& 6C_4& 6C_2^{\prime }\\ A_1& 1& 1& 1& 1& 1\\ A_2& 1& 1& 1& -1& -1\\ E& 2& -1& 2& 0& 0\\ T_1& 3& 0& -1& 1& -1\\ T_2& 3& 0& -1& -1& 1\end{array}$$

$D^{(5)}$ に含まれる既約表現 $A_1,A_2,E,T_1,T_2$ の重複度 $n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2}$ を、この順に組 $(n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2})$ で求めよ。

単位球面上の関数 $f(\theta ,\phi )={\cos }^2\theta$（$0\le \theta \le \pi$, $0\le \phi <2\pi$）を、正規直交な球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$ で
$$f(\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^l{a}_{lm}{Y}_l^m(\theta ,\phi )$$
と展開する。ここで正規直交性は ${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }\overline{Y_l^m}{Y}_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}\sin \theta d\theta d\phi ={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$ であり、
$$Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi }},Y_2^0=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left(3{\cos }^2\theta -1\right)$$
である。係数 $a_{20}$ を求めよ。

区間 $0\le x\le 1$ 上の実数値関数 $\varphi (x)$（2 回微分可能で $\varphi (0)=\varphi (1)=0$ をみたすもの）に対して、汎関数
$$F[\varphi ]={\int }_0^1\left[\frac{1}{2}{\left(\frac{d\varphi }{dx}\right)}^2-x\varphi (x)\right]dx$$
を考える。汎関数微分 $\frac{\delta F}{\delta \varphi (x)}$ が $0<x<1$ で $0$ になる停留関数 ${\varphi }_0$ に対する停留値 $F[{\varphi }_0]$ を求めよ。