表現論の問題

$G=S_4$ を $\{1,2,3,4\}$ 上の $4$ 次対称群とする。$\{1,2,3,4\}$ の $2$ 元部分集合全体を $X$ とし（$|X|=6$）、$V$ を $X$ の元 $A$ に対応する基底 $\{e_A\mid A\in X\}$ をもつ $6$ 次元複素ベクトル空間とする。$g\in G$ を $g\cdot e_A=e_{g(A)}$（$g(A)=\{g(a)\mid a\in A\}$）と線形に作用させて得られる $G$ の表現の指標を $\chi$ とする。

$$\chi (e),\chi ((12)),\chi ((123)),\chi ((1234)),\chi ((12)(34))$$

の値をこの順に組で求めよ。ただし $e$ は単位元である。

$G=S_3$ を $3$ 次対称群とし、$V$ を $G$ の $2$ 次元複素既約表現とする。$V$ の指標 $\chi$ は、単位元 $e$、互換（$3$ 個）、長さ $3$ の巡回置換（$2$ 個）の各共役類で、それぞれ
$$\chi (e)=2,\chi (\text{互換})=0,\chi (\text{3-cycle})=-1$$
をとる。テンソル積表現 $V\otimes V$ について、${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{End}}_G(V\otimes V)$ を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、複素数体上の表現を考える。$G$ の共役類は巡回型で分類され、代表元 $e,(12),(12)(34),(123),(1234)$ をもつ $5$ つの類があり、その大きさはこの順に $1,6,3,8,6$ である。$G$ の既約指標のうち、次の $4$ つはすでにわかっているとする。

• 自明な指標 ${\chi }_1$
• 符号指標 ${\chi }_{\mathrm{sgn}}$（${\chi }_{\mathrm{sgn}}(\sigma )=\mathrm{sgn}\sigma$）
• $\{1,2,3,4\}$ への置換表現の指標から ${\chi }_1$ を引いた $3$ 次元既約指標 ${\chi }_3$
• ${\chi }_3$ と ${\chi }_{\mathrm{sgn}}$ の積 ${\chi }_3^{\prime }={\chi }_3{\chi }_{\mathrm{sgn}}$（$3$ 次元既約指標）

$G$ には残りの既約指標 ${\chi }_2$ がちょうど $1$ つある。${\chi }_2$ の $(12),(12)(34),(123),(1234)$ での値を、この順に組 $({\chi }_2((12)),{\chi }_2((12)(34)),{\chi }_2((123)),{\chi }_2((1234)))$ として求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$\sigma =(1234)$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$H$ の $1$ 次元複素表現 $\psi$ を $\psi ({\sigma }^k)=i^k$（$k=0,1,2,3$、$i$ は虚数単位）で定める。また、$G$ が ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する表現の指標を $\pi$ とし、$\chi =\pi -1$（$\chi (g)=(g\text{ の固定点の個数})-1$）を $G$ の $3$ 次元既約表現の指標とする。誘導表現 ${\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ における、指標 $\chi$ をもつ既約表現の重複度 $⟨{\mathrm{Ind}}_H^G\psi ,\chi {⟩}_G$ を求めよ。

$7$ 次対称群 $S_7$ の複素既約表現（同型類）は $7$ の分割 $\lambda$ と $1$ 対 $1$ に対応する。分割 $\lambda$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{\lambda }$ と書く。分割 $\lambda =(4,2,1)$ に対応する既約表現 $S^{(4,2,1)}$ の次元を求めよ。