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表現論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学表現論

$G = SO (3)$ とし、各整数 $ℓ \geq 0$ に対して $V_{ℓ}$ を $G$ の $2 ℓ + 1$ 次元複素既約表現とする（たとえば $ℓ$ 次の調和多項式のなす空間）。回転角 $θ$ の回転における $V_{ℓ}$ の指標の値は
$χ_{ℓ} (θ) = \frac{sin \frac{( 2 ℓ + 1 ) θ}{2}}{sin \frac{θ}{2}} (θ \neq = 0), χ_{ℓ} (0) = 2 ℓ + 1$
であることを用いてよい。

$H \subset G$ を、原点を中心とし各辺が座標軸に平行な立方体を自分自身に移す回転全体のなす部分群（位数 $24$ ）とする。 $H$ は $3$ 本の座標軸（ $x$ 軸・ $y$ 軸・ $z$ 軸）の集合に置換として作用し、これにより全射準同型 $H \to S_{3}$ が得られる。これと $S_{3}$ の $2$ 次元複素既約表現を合成して得られる $H$ の $2$ 次元既約表現を $ρ$ とする。

テンソル積表現 $V_{5} \otimes V_{5}$ を $H$ に制限した表現における $ρ$ の重複度を求めよ。

この問題で使うもの

群の表現と指標（説明と入口の問題）
指標の直交関係と重複度（説明と入口の問題）
テンソル積・対称積・交代積の分解（説明と入口の問題）
指標表の作成（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（72 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

テンソル積の指標は指標の積であることと、指標の内積で重複度が求まることを使う。まず $H$ の共役類を回転軸と回転角で分類しよう。

ヒント 2

$H$ の共役類は「恒等変換(1個)」「座標軸のまわりの $π$ 回転(3個)」「座標軸のまわりの $\pm π /2$ 回転(6個)」「対角線のまわりの $\pm 2 π /3$ 回転(8個)」「辺の中点を通る軸のまわりの $π$ 回転(6個)」。各類で $χ_{5}$ と $χ_{ρ}$ の値を求め、 $\frac{1}{24} \sum ∣ C ∣ χ_{5} (g)^{2} χ_{ρ} (g)$ を計算する。

ヒント 3

上の順に $χ_{5} = (11, - 1, 1, - 1, - 1)$ 、 $χ_{ρ} = (2, 2, 0, - 1, 0)$ となる。したがって $χ_{5}^{2} = (121, 1, 1, 1, 1)$ である。

答えと解説

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解説を読む

$H$ の共役類. 立方体の回転群 $H$ （位数 $24$ ）の共役類は次の $5$ つである。
- 恒等変換： $1$ 個（回転角 $0$ ）
- 面の中心を通る軸（座標軸）のまわりの角 $π$ の回転： $3$ 個
- 座標軸のまわりの角 $\pm π /2$ の回転： $6$ 個
- 対角線（頂点を通る軸）のまわりの角 $\pm 2 π /3$ の回転： $8$ 個
- 向かい合う辺の中点を通る軸のまわりの角 $π$ の回転： $6$ 個

（ $1 + 3 + 6 + 8 + 6 = 24$ 。）

$ρ$ の指標. 各元が座標軸の集合に引き起こす置換を見る。座標軸のまわりの $π$ 回転は $3$ 本の軸をそれぞれ固定するので恒等置換、座標軸のまわりの $\pm π /2$ 回転は残りの $2$ 本を入れかえるので互換、対角線のまわりの $\pm 2 π /3$ 回転は $3$ 本を巡回させるので $3$ -サイクル、辺の中点を通る軸（例えば $(1, 1, 0)$ 方向）のまわりの $π$ 回転は $x$ 軸と $y$ 軸を入れかえ $z$ 軸を固定するので互換である。 $S_{3}$ の $2$ 次元既約表現の指標は恒等置換で $2$ 、互換で $0$ 、 $3$ -サイクルで $- 1$ だから、上の順に
$χ_{ρ} = (2, 2, 0, - 1, 0) .$

$V_{5}$ の指標. $χ_{ℓ} (θ)$ は $θ$ の偶関数なので、 $\pm θ$ で同じ値をとる。 $ℓ = 5$ のとき
- $θ = 0$ ： $11$
- $θ = π$ ： $sin \frac{11 π}{2} / sin \frac{π}{2} = - 1$
- $θ = π /2$ ： $sin \frac{11 π}{4} / sin \frac{π}{4} = sin \frac{3 π}{4} / sin \frac{π}{4} = 1$
- $θ = 2 π /3$ ： $sin \frac{11 π}{3} / sin \frac{π}{3} = sin (- \frac{π}{3}) / sin \frac{π}{3} = - 1$

よって $H$ の共役類上で $χ_{5} = (11, - 1, 1, - 1, - 1)$ である。テンソル積の指標は指標の積なので
$χ_{V_{5} \otimes V_{5}} = χ_{5}^{2} = (121, 1, 1, 1, 1) .$

重複度. $ρ$ の指標は実数値なので、重複度は
$⟨ χ_{5}^{2}, χ_{ρ} ⟩_{H} = \frac{1}{24} (1 \cdot 121 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 2 + 6 \cdot 1 \cdot 0 + 8 \cdot 1 \cdot (- 1) + 6 \cdot 1 \cdot 0) = \frac{242 + 6 - 8}{24} = \frac{240}{24} = 10.$

検算（クレブシュ–ゴルダン分解）. $V_{5} \otimes V_{5} ≅ ⨁_{ℓ = 0}^{10} V_{ℓ}$ である。 $V_{ℓ}$ を $H$ に制限したときの $ρ$ の重複度は、 $χ_{ℓ} (π) = (- 1)^{ℓ}$ と、 $ℓ \equiv 0, 1, 2 (mod 3)$ に応じて $χ_{ℓ} (2 π /3) = 1, 0, - 1$ となることから
$m_{ℓ} = \frac{1}{24} (2 (2 ℓ + 1) + 6 (- 1)^{ℓ} - 8 χ_{ℓ} (2 π /3))$
である。 $ℓ = 0, 1, \dots, 10$ に対して $m_{ℓ} = 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2$ となり、その和は $10$ で一致する。

答えは $10$ である。

別解

$H$ は立方体の回転群（位数 24、 $S_{4}$ と同型）である。 $ρ$ は $S_{4} \to S_{3}$ を経由する 2 次元既約表現であり、その指標を共役類ごとに求める。

単位元（1 個）： $χ_{ρ} = 2$
座標軸まわりの $π$ 回転（3 個）：3 軸をすべて固定するので恒等置換に対応し、 $χ_{ρ} = 2$
頂点を通る軸まわりの $2 π /3$ 回転（8 個）：3 軸を巡回置換するので、 $χ_{ρ} = - 1$
座標軸まわりの $π /2$ 回転（6 個）：2 軸を入れ替える互換に対応し、 $χ_{ρ} = 0$
辺の中点を通る軸まわりの $π$ 回転（6 個）：互換に対応し、 $χ_{ρ} = 0$

$V_{5} \otimes V_{5}$ の指標は $χ_{5} (θ)^{2}$ で、 $χ_{5} (θ) = sin (11 θ /2) / sin (θ /2)$ である。

$θ = 0$ ： $χ_{5} = 11$ なので $χ_{5}^{2} = 121$
$θ = 2 π /3$ ： $sin (11 π /3) = - sin (π /3)$ より $χ_{5} = - 1$ 、 $χ_{5}^{2} = 1$
$θ = π$ ： $sin (11 π /2) = - 1$ 、 $sin (π /2) = 1$ より $χ_{5} = - 1$ 、 $χ_{5}^{2} = 1$

$χ_{ρ}$ は実数値なので、重複度は内積で求められる。 $χ_{ρ} = 0$ の類は寄与しない。

$\frac{1}{24} [1 \cdot 121 \cdot 2 + 8 \cdot 1 \cdot (- 1) + 3 \cdot 1 \cdot 2] = \frac{242 - 8 + 6}{24} = \frac{240}{24} = 10.$

検算として、 $V_{5} \otimes V_{5}$ の次元は 121 である。 $H$ の既約表現 $A_{1}, A_{2}, E, T_{1}, T_{2}$ の次元は $1, 1, 2, 3, 3$ なので、 $E$ の重複度 10 は次元 20 を占めており、矛盾はない。

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