表現論の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学表現論

表現・指標はすべて複素数体上の有限次元のものとする。有限群 $K$ 上の複素数値関数 $α, β$ に対し、内積を $⟨ α, β ⟩_{K} = \frac{1}{∣ K ∣} \sum_{k \in K} α (k) β (k)$ で定める。群 $G$ の線形指標とは、群準同型 $G \to C^{\times}$ （次数 $1$ の指標）のこととする。

$G$ を有限群、 $χ$ を $G$ の既約指標とし、
$L = {λ ∣ λ は G の線形指標で、すべての g \in G について χ (g) λ (g) = χ (g)}$
とおく。このとき、 $L$ の元の個数 $∣ L ∣$ は $χ (1)^{2}$ を割り切ることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 指標の第 1 直交関係: $G$ の既約指標 $ψ, ψ^{'}$ について、 $ψ = ψ^{'}$ なら $⟨ ψ, ψ^{'} ⟩_{G} = 1$ 、 $ψ \neq = ψ^{'}$ なら $⟨ ψ, ψ^{'} ⟩_{G} = 0$
- クリフォードの定理: $K$ が $G$ の正規部分群で $χ$ が $G$ の既約指標ならば、正の整数 $e, t$ と、互いに相異なる $K$ の既約指標 $θ_{1}, \dots, θ_{t}$ で、すべて同じ次数をもち、 $χ_{K} = e (θ_{1} + \dots + θ_{t})$ をみたすものが存在する（ $χ_{K}$ は $χ$ の $K$ への制限）

この問題で使うもの

指標の直交関係と重複度（説明と入口の問題）
1 次元表現とアーベル化（説明と入口の問題）
群の表現と指標（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$L$ に属する線形指標すべての核の共通部分 $K$ を考えます。 $∣ L ∣$ と $⟨ χ_{K}, χ_{K} ⟩_{K}$ をどちらも指数 $[G : K]$ で表すことを目指しましょう。

ヒント 2

$λ_{0} (g) \neq = 1$ のとき $χ (g) = χ (g) λ_{0} (g)$ から $χ (g) = 0$ が出ます。また $S = \sum_{λ \in L} λ$ は $K$ 上で $∣ L ∣$ 、 $K$ の外で $0$ になります（ $L$ が群であることを使う）。 $⟨ S, 1_{G} ⟩_{G}$ を 2 通りに計算してみましょう。

ヒント 3

$⟨ χ, χ ⟩_{G} = 1$ の和を $K$ 上に制限すると $⟨ χ_{K}, χ_{K} ⟩_{K} = [G : K]$ が得られます。あとはクリフォードの定理で $χ_{K} = e (θ_{1} + \dots + θ_{t})$ と書いて、 $⟨ χ_{K}, χ_{K} ⟩_{K}$ と $χ (1)$ をそれぞれ $e, t, θ_{i} (1)$ で表します。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$L$ が各点ごとの積について有限群になることを確かめ、 $K = ⋂_{λ \in L} ker λ$ が正規部分群であることを述べている（1 点）
$g \in / K$ のとき $λ_{0} (g) \neq = 1$ となる $λ_{0} \in L$ を使って $χ (g) = 0$ を示している（2 点）
$\sum_{λ \in L} λ$ が $K$ 上で $∣ L ∣$ 、外で $0$ であることを $L$ の群構造から示し、自明指標との内積を 2 通りに計算して $∣ L ∣ = [G : K]$ を導いている（3 点）
$⟨ χ, χ ⟩_{G} = 1$ を $K$ 上の和に書き換えて $⟨ χ_{K}, χ_{K} ⟩_{K} = [G : K]$ を導いている（2 点）
クリフォードの定理で $χ_{K} = e \sum θ_{i}$ と分解し、 $∣ L ∣ = e^{2} t$ 、 $χ (1) = e t θ_{1} (1)$ から $χ (1)^{2} = ∣ L ∣ \cdot t θ_{1} (1)^{2}$ を示して結論している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

方針. $L$ の元すべての核の共通部分 $K$ を考え、(a) $L$ が群をなし $∣ L ∣ = [G : K]$ であること、(b) $χ$ が $K$ の外で $0$ になり $⟨ χ_{K}, χ_{K} ⟩_{K} = [G : K]$ となること、を示す。最後にクリフォードの定理で $χ_{K}$ を分解して割り算を確かめる。

ステップ 1: $L$ は各点ごとの積について有限群をなす. 自明指標 $1_{G}$ は $L$ に属する。 $λ, λ^{'} \in L$ なら $λ λ^{'}$ は準同型 $G \to C^{\times}$ で、 $χ λ λ^{'} = (χ λ) λ^{'} = χ λ^{'} = χ$ なので $λ λ^{'} \in L$ 。また $λ^{- 1} : g \mapsto λ (g)^{- 1}$ も準同型で、 $χ λ^{- 1} = (χ λ) λ^{- 1} = χ$ なので $λ^{- 1} \in L$ 。結合法則は $C^{\times}$ で成り立つので、 $L$ は群である。線形指標の値は $λ (g)^{∣ G ∣} = λ (g^{∣ G ∣}) = 1$ より $1$ の $∣ G ∣$ 乗根に限られ、有限集合 $G$ から有限集合への写像は有限個しかないので、 $L$ は有限群である。

ステップ 2: $K$ の定義と、 $χ$ が $K$ の外で $0$ になること.
$K = λ \in L ⋂ ker λ$
とおく。各 $ker λ$ は $G$ の正規部分群なので、 $K$ も $G$ の正規部分群である。 $g \in / K$ なら、ある $λ_{0} \in L$ で $λ_{0} (g) \neq = 1$ となる。 $χ (g) = χ (g) λ_{0} (g)$ より $χ (g) (1 - λ_{0} (g)) = 0$ なので $χ (g) = 0$ 。

ステップ 3: $∣ L ∣ = [G : K]$ . $S (g) = \sum_{λ \in L} λ (g)$ とおく。 $g \in K$ ならすべての $λ \in L$ で $λ (g) = 1$ なので $S (g) = ∣ L ∣$ 。 $g \in / K$ なら $λ_{0} (g) \neq = 1$ となる $λ_{0} \in L$ をとる。ステップ 1 より $λ \mapsto λ_{0} λ$ は $L$ からそれ自身への全単射なので
$S (g) = λ \in L \sum (λ_{0} λ) (g) = λ_{0} (g) S (g)$
となり、 $(1 - λ_{0} (g)) S (g) = 0$ から $S (g) = 0$ 。よって
$⟨ S, 1_{G} ⟩_{G} = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum S (g) = \frac{∣ L ∣ ∣ K ∣}{∣ G ∣} .$
一方、内積の第 1 変数についての線形性から $⟨ S, 1_{G} ⟩_{G} = \sum_{λ \in L} ⟨ λ, 1_{G} ⟩_{G}$ である。線形指標は次数 $1$ の表現の指標なので既約指標であり、第 1 直交関係より $⟨ λ, 1_{G} ⟩_{G}$ は $λ = 1_{G}$ のとき $1$ 、それ以外は $0$ である。 $1_{G} \in L$ なので和は $1$ 。したがって $∣ L ∣ ∣ K ∣/∣ G ∣ = 1$ 、すなわち $∣ L ∣ = [G : K]$ 。

ステップ 4: $⟨ χ_{K}, χ_{K} ⟩_{K} = ∣ L ∣$ . $χ$ は既約なので第 1 直交関係より $⟨ χ, χ ⟩_{G} = 1$ 。ステップ 2 より和は $K$ 上だけに制限できて
$1 = \frac{1}{∣ G ∣} g \in K \sum ∣ χ (g) ∣^{2} = \frac{∣ K ∣}{∣ G ∣} \cdot \frac{1}{∣ K ∣} k \in K \sum ∣ χ_{K} (k) ∣^{2} = \frac{1}{[ G : K ]} ⟨ χ_{K}, χ_{K} ⟩_{K} .$
よってステップ 3 と合わせて $⟨ χ_{K}, χ_{K} ⟩_{K} = [G : K] = ∣ L ∣$ 。

ステップ 5: 割り切ること. $K$ は $G$ の正規部分群（ステップ 2）で $χ$ は既約なので、クリフォードの定理より正の整数 $e, t$ と相異なる $K$ の既約指標 $θ_{1}, \dots, θ_{t}$ （すべて次数 $d$ ）で $χ_{K} = e (θ_{1} + \dots + θ_{t})$ となるものがある。内積は第 1 変数について線形、第 2 変数について共役線形であり、 $e$ は実数なので、 $K$ の第 1 直交関係（ $θ_{i}$ は相異なる既約指標）より
$⟨ χ_{K}, χ_{K} ⟩_{K} = e^{2} i, j = 1 \sum t ⟨ θ_{i}, θ_{j} ⟩_{K} = e^{2} t .$
ステップ 4 より $∣ L ∣ = e^{2} t$ 。また $1$ で値をとると $χ (1) = χ_{K} (1) = e t d$ 。よって
$χ (1)^{2} = e^{2} t^{2} d^{2} = (e^{2} t) \cdot (t d^{2}) = ∣ L ∣ \cdot t d^{2}$
で、 $t d^{2}$ は正の整数である。

結論. $∣ L ∣$ は $χ (1)^{2}$ を割り切る。 $■$

（補足: 特に $∣ L ∣ \leq χ (1)^{2}$ である。たとえば位数 $8$ の二面体群の $2$ 次の既約指標 $χ$ では、 $χ$ は中心の外で $0$ になり、 $4$ つの線形指標はすべて中心（交換子群に一致する）上で $1$ なので、すべてが $χ λ = χ$ をみたし、 $∣ L ∣ = 4 = χ (1)^{2}$ と等号が成り立つ。）

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる