直積群の既約表現

$G \times H$ の既約表現が外部テンソル積 $V ⊠ W$ （次元 $dim V \cdot dim W$ ）で尽くされることを使い、指定した次元をもつ既約表現の個数を求められる

前提

既約表現の個数と次元（大学院数学表現論）

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算数中学高校大学大学院

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既約表現の個数と次元（大学院数学表現論）

説明

有限群 $G$ , $H$ の既約表現（複素数体上）がわかっていれば、直積群 $G \times H$ の既約表現はすべて「 $G$ の既約表現と $H$ の既約表現の組」から作れます。具体的には、 $G$ の既約表現 $V$ と $H$ の既約表現 $W$ から外部テンソル積 $V ⊠ W$ （次元 $dim V \cdot dim W$ ）を作ると、これらが互いに同型でない既約表現になり、しかも $G \times H$ の既約表現はこれで尽くされます。これを使うと、 $S_{3} \times D_{4}$ のような大きめの群でも、指定した次元の既約表現の個数を次元の組の掛け算だけで数えられます。

なぜそうしてよいのか

外部テンソル積の定義. $G$ の表現 $ρ : G \to G L (V)$ と $H$ の表現 $σ : H \to G L (W)$ に対し、 $V \otimes W$ 上に $(g, h) \cdot (v \otimes w) = ρ (g) v \otimes σ (h) w$ と作用させたものを $V ⊠ W$ と書きます。 $V$ の基底 $v_{1}, \dots, v_{m}$ と $W$ の基底 $w_{1}, \dots, w_{n}$ から $v_{a} \otimes w_{b}$ （ $mn$ 個）が基底になり、 $(g, h)$ の表現行列は $ρ (g)$ と $σ (h)$ の成分を掛け合わせた $mn$ 次の行列（クロネッカー積）です。したがって次元は $mn$ で、指標は対角成分の和を計算すると $χ_{V ⊠ W} (g, h) = χ_{V} (g) χ_{W} (h)$ と積になります。

既約で互いに異なること. 指標の内積 $⟨ χ, ψ ⟩ = \frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g} χ (g) ψ (g)$ について、「既約指標どうしでは $⟨ χ_{i}, χ_{k} ⟩ = δ_{ik}$ であり、表現が既約であることと $⟨ χ, χ ⟩ = 1$ は同値」という事実を使います。指標が積なので和が分かれ、
$⟨ χ_{V ⊠ W}, χ_{V^{'} ⊠ W^{'}} ⟩ = \frac{1}{∣ G ∣∣ H ∣} g, h \sum χ_{V} (g) χ_{W} (h) χ_{V^{'}} (g) χ_{W^{'}} (h) = ⟨ χ_{V}, χ_{V^{'}} ⟩_{G} ⟨ χ_{W}, χ_{W^{'}} ⟩_{H}$
となります。よって $V ⊠ W$ は既約で、組 $(V, W)$ が違えば同型になりません。

尽くされること. 直積群の共役は成分ごとなので $(g, h)$ と $(g^{'}, h^{'})$ が共役 $⟺$ $g \sim g^{'}$ かつ $h \sim h^{'}$ で、 $G \times H$ の共役類の個数は $r_{G} r_{H}$ （ $r_{G}, r_{H}$ はそれぞれの共役類の個数）です。一方、上で作った既約表現はちょうど $r_{G} r_{H}$ 個あるので、既約表現の個数 $=$ 共役類の個数より、これで全部です。検算として、次元の 2 乗和も $\sum_{i, j} (d_{i} e_{j})^{2} = (\sum_{i} d_{i}^{2}) (\sum_{j} e_{j}^{2}) = ∣ G ∣∣ H ∣$ となり合っています。

手順

$G$ の既約表現の次元の組 $d_{1}, \dots, d_{r}$ と $H$ の既約表現の次元の組 $e_{1}, \dots, e_{s}$ を求める（共役類の個数、 $[G : [G, G]]$ 、 $\sum d_{i}^{2} = ∣ G ∣$ を使う）
$G \times H$ の既約表現は $V_{i} ⊠ W_{j}$ の $r s$ 個で、次元は $d_{i} e_{j}$ であることを使い、次元の組を「積の表」として並べる
指定された次元 $d$ について、 $d_{i} e_{j} = d$ となる組 $(i, j)$ の個数を数える。次元が等しい表現が複数あるときは、それぞれ別に数える（個数 = 「 $G$ 側で次元 $a$ のものの個数」×「 $H$ 側で次元 $d / a$ のものの個数」を $a$ について足す）
検算として、全体の個数が $r s$ 、次元の 2 乗和が $∣ G ∣∣ H ∣$ になることを確かめる

例題

$S_{3}$ を 3 次対称群、 $D_{4}$ を位数 $8$ の二面体群（正方形の対称性の群）とする。直積群 $S_{3} \times D_{4}$ の既約複素表現のうち、次元が $2$ のものは何個あるか（同型なものは同じとみなす）。

例題の解答

【手順 1】 $S_{3}$ は共役類 $3$ 個、 $[S_{3}, S_{3}] = A_{3}$ より 1 次元表現が $2$ 個で、 $1 + 1 + d^{2} = 6$ から次元の組は $1, 1, 2$ 。
$D_{4} = ⟨ r, s ∣ r^{4} = s^{2} = e, sr s^{- 1} = r^{- 1} ⟩$ の共役類は ${e}, {r^{2}}, {r, r^{3}}, {s, s r^{2}}, {sr, s r^{3}}$ の $5$ 個。交換子群は ${e, r^{2}}$ でアーベル化の位数は $4$ なので 1 次元表現が $4$ 個、 $4 + d^{2} = 8$ から次元の組は $1, 1, 1, 1, 2$ 。

【手順 2】 $S_{3} \times D_{4}$ の既約表現は $3 \times 5 = 15$ 個で、次元はそれぞれの積 $d_{i} e_{j}$ 。

【手順 3】 $d_{i} e_{j} = 2$ となる組は
- $d_{i} = 2$ （ $S_{3}$ 側で $1$ 個）かつ $e_{j} = 1$ （ $D_{4}$ 側で $4$ 個）： $1 \times 4 = 4$ 個
- $d_{i} = 1$ （ $S_{3}$ 側で $2$ 個）かつ $e_{j} = 2$ （ $D_{4}$ 側で $1$ 個）： $2 \times 1 = 2$ 個
で、合計 $4 + 2 = 6$ 個。

【手順 4】他の次元も数えると、次元 $1$ が $2 \times 4 = 8$ 個、次元 $4$ が $1 \times 1 = 1$ 個。個数は $8 + 6 + 1 = 15 = 3 \times 5$ 、2 乗和は $8 \cdot 1 + 6 \cdot 4 + 1 \cdot 16 = 48 = 6 \times 8$ で合う。

よって次元 $2$ の既約表現は $6$ 個。

答え: $6$

よくある誤り

直積群の表現を直和 $V \oplus W$ で作り、次元を足してしまう誤り。 $S_{3}$ の 2 次元表現と $D_{4}$ の 2 次元表現から次元 $2 + 2 = 4$ の表現ができると考えると、合計の個数も 2 乗和も合わない。正しくはテンソル積 $V ⊠ W$ で、次元は積 $2 \times 2 = 4$ （この場合たまたま一致するが、 $2$ と $1$ なら和は $3$ 、正しい次元は $2$ ）。
既約表現の個数を $r_{G} + r_{H}$ としてしまう誤り。 $S_{3} \times S_{3}$ なら $3 + 3 = 6$ 個ではない。正しくは共役類が成分ごとに決まるので $r_{G} r_{H} = 3 \times 3 = 9$ 個で、2 乗和も $(1 + 1 + 4)^{2} = 36 = ∣ S_{3} \times S_{3} ∣$ となる。
$G = H$ のとき組の順序を区別せずに数えてしまう誤り。 $S_{3} \times S_{3}$ で $sgn ⊠ 1$ と $1 ⊠ sgn$ は指標 $χ (g, h)$ が違う（ $((12), e)$ で値が $- 1$ と $1$ ）ので別の表現。正しくは順序付きの組 $(V_{i}, W_{j})$ を数え、次元 $2$ のものは $(2, 1), (2, sgn), (1, 2), (sgn, 2)$ の $4$ 個。
直積でない群（半直積など）にもこの方法を当てはめてしまう誤り。 $S_{3}$ は位数 $3$ と位数 $2$ の部分群から作られるが $C_{3} \times C_{2}$ ではないので、1 次元表現が $3 \times 2 = 6$ 個あるわけではない。正しくは $S_{3}$ の 1 次元表現は $[S_{3} : A_{3}] = 2$ 個で、この技能は群が本当に直積 $G \times H$ （成分どうしが可換）のときにだけ使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$S_{3}$ を $3$ 次対称群、 $D_{4}$ を正方形の二面体群（位数 $8$ ）とし、 $G = S_{3} \times D_{4}$ （位数 $48$ ）とおく。 $S_{3}$ の複素既約表現の次元は $1, 1, 2$ 、 $D_{4}$ の複素既約表現の次元は $1, 1, 1, 1, 2$ であることを用いてよい。 $G$ の複素既約表現（同型類）のうち、次元がちょうど $2$ であるものの個数を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
$S_{3}$ を 3 次対称群、 $C_{4}$ を位数 $4$ の巡回群とし、 $G = S_{3} \times C_{4}$ とおく。 $G$ の複素既約表現（同型類）のうち、次元がちょうど $2$ であるものの個数を求めよ。