中心化群・正規化群の位数

まず言葉を定めます。どの置換も互換（2 文字の入れかえ）の積で表せ、その表し方は 1 通りではありませんが、使う互換の個数の偶奇は置換ごとに定まります（これは事実として認めます）。個数が偶数の置換を偶置換、奇数の置換を奇置換といい、$S_n$ の偶置換全体を交代群 $A_n$ と書きます（$|A_n|=n!/2$, $n\ge 2$）。長さ $k$ の巡回は $(a_1{a}_2\cdots a_k)=(a_1{a}_k)(a_1{a}_{k-1})\cdots (a_1{a}_2)$ と $k-1$ 個の互換の積なので、$k$ が偶数なら奇置換、$k$ が奇数なら偶置換です。偶置換と奇置換の積は奇置換、奇置換どうしの積は偶置換です。

中心化群の位数は「軌道の大きさ $\times$ 固定部分群の位数 $=|G|$」の言いかえです。$S_n$ が共役で自分自身に作用すると、$\sigma$ の固定部分群は $C_{S_n}(\sigma )$、軌道は $\sigma$ の共役類で、その大きさは $\frac{n!}{{\prod }_k{k}^{m_k}{m}_k!}$ でした。よって $|C_{S_n}(\sigma )|={\prod }_k{k}^{m_k}{m}_k!$ です。直観的には、$\tau \sigma {\tau }^{-1}$ は $\sigma$ の巡回表示の各文字を $\tau$ で書きかえたものなので、$\tau \sigma {\tau }^{-1}=\sigma$ となる $\tau$ は「同じ長さの巡回どうしを入れかえる（各長さ $k$ で $m_k!$ 通り）」と「各巡回の書き出しの文字を選び直す（各巡回で $k$ 通り）」の組合せで、ちょうど ${\prod }_k{k}^{m_k}{m}_k!$ 個あります（長さ 1 の巡回 = 固定点も $1^{m_1}{m}_1!$ として数えます）。

$\sigma \in A_n$ のとき $C_{A_n}(\sigma )=C_{S_n}(\sigma )\cap A_n$ です。$C_{S_n}(\sigma )$ が奇置換 $\pi$ を 1 つでも含めば、その中の偶置換と奇置換が $\rho \mapsto \pi \rho$ で 1 対 1 に対応するので $|C_{A_n}(\sigma )|=\frac{1}{2}|C_{S_n}(\sigma )|$、含まなければ $|C_{A_n}(\sigma )|=|C_{S_n}(\sigma )|$ です。奇置換が見つかるのは次の場合です。(i) 偶数長の巡回があるとき：その巡回自身は上の事実から奇置換で、$\sigma$ を構成する巡回の 1 つなので $\sigma$ と可換です。(ii) 同じ奇数長 $k$ の巡回 $(a_1\cdots a_k)$, $(b_1\cdots b_k)$ が 2 つ以上あるとき：文字ごとに入れかえる置換 $(a_1{b}_1)(a_2{b}_2)\cdots (a_k{b}_k)$ は 2 つの巡回を互いに写し合うので $\sigma$ と可換で、互換 $k$ 個（奇数個）の積なので奇置換です。どちらでもない、すなわち巡回の長さ（固定点も長さ 1 と数える）が相異なる奇数だけのときは、$\sigma$ と可換な $\tau$ は各巡回をそれ自身に写すしかなく、各巡回の累乗の積になります。奇数長の巡回の累乗は偶置換の積なので、中心化群はすべて偶置換です。軌道の公式を $A_n$ で使うと $\sigma$ の $A_n$ での共役類の大きさは $\frac{n!/2}{|C_{A_n}(\sigma )|}$ なので、(i)(ii) の場合は $S_n$ での類と同じ大きさ、そうでない場合はその半分になり、$S_n$ の類は $A_n$ で大きさの等しい 2 つの類に分かれます。

部分群の場合も同じです。$G$ は部分群全体に $H\mapsto gH{g}^{-1}$ で作用し、$H$ の固定部分群がちょうど $N_G(H)$、軌道が $H$ と共役な部分群の集まりです。$H$ と共役な部分群の個数を $c$ とすると $|N_G(H)|=|G|/c$ です。例えば $S_5$ で 5-巡回置換は $4!=24$ 個、位数 5 の巡回部分群 1 つには単位元以外に 5-巡回置換が 4 個入っていて、異なる 2 つの位数 5 の部分群は単位元しか共有しないので、こうした部分群は $24/4=6$ 個です。これらは生成元どうしが共役なので互いに共役で $c=6$、したがって $|N_{S_5}(⟨(12345)⟩)|=120/6=20$ です。