群論の問題

中心化群. $S_n$ で巡回型が $1^{m_1}{2}^{m_2}\cdots$ の元の中心化群の位数は ${\prod }_k{k}^{m_k}{m}_k!$ である。$\sigma$ の巡回型は $4^2$ なので
$$|C_{S_8}(\sigma )|=4^2\cdot 2!=32.$$
具体的には $C_{S_8}(\sigma )$ は $\alpha =(1234)$, $\beta =(5678)$, $\gamma =(15)(26)(37)(48)$ で生成される。ここで $\alpha$ は $4$ 次巡回置換なので奇置換であり、$\alpha \in C_{S_8}(\sigma )\setminus A_8$。したがって $C_{A_8}(\sigma )=C_{S_8}(\sigma )\cap A_8$ は $C_{S_8}(\sigma )$ の指数 $2$ の部分群で
$$|C_{A_8}(\sigma )|=16.$$

共役類の大きさ. 軌道・固定群定理より、$A_8$ における $\sigma$ の共役類の元の個数は
$$\frac{|A_8|}{|C_{A_8}(\sigma )|}=\frac{20160}{16}=1260.$$
（$S_8$ での共役類の大きさも $40320/32=1260$ であり、$S_8$ の共役類が $A_8$ で分裂しないことと整合する。）

正規化群. 共役作用により準同型 $N_{S_8}(⟨\sigma ⟩)\to \mathrm{Aut}(⟨\sigma ⟩)\cong (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong \{\pm 1\}$ が定まり、その核は $C_{S_8}(\sigma )$ である。$\rho =(24)(68)$ とおくと
$$\rho \sigma {\rho }^{-1}=(1432)(5876)={\sigma }^{-1}$$
なので、この準同型は全射であり
$$|N_{S_8}(⟨\sigma ⟩)|=2\cdot 32=64.$$
$N_{A_8}(⟨\sigma ⟩)=N_{S_8}(⟨\sigma ⟩)\cap A_8$ であり、$N_{S_8}(⟨\sigma ⟩)$ は奇置換 $\alpha$ を含むので、偶置換全体はその指数 $2$ の部分群となる。よって
$$|N_{A_8}(⟨\sigma ⟩)|=32.$$
（なお $\rho$ は偶置換なので、$A_8$ の中でも $\sigma$ と ${\sigma }^{-1}$ は共役であり、$|N_{A_8}(⟨\sigma ⟩)|=2\cdot 16=32$ と計算しても同じ結果になる。）

以上より答えは $(1260,32)$。

$S_8$ における $\sigma$ の型は $(4,4)$ であり、共役類の大きさは $\frac{8!}{4^2\cdot 2!}=\frac{40320}{32}=1260$、中心化群 $C_{S_8}(\sigma )$ の位数は $32$ である。

$C_{S_8}(\sigma )$ は奇置換 $(1234)$ を含むので $A_8$ に含まれない。したがって $S_8$ での共役類は $A_8$ で分裂せず、$A_8$ における共役類の大きさは $1260$ である。

次に $H=⟨\sigma ⟩=\{1,\sigma ,{\sigma }^2,{\sigma }^3\}$ の正規化群を求める。${\sigma }^{-1}$ も型 $(4,4)$ なので $S_8$ の中で $\sigma$ と共役であり、$\sigma \mapsto {\sigma }^{-1}$ を引き起こす元が存在する。よって $N_{S_8}(H)/C_{S_8}(H)\cong \mathrm{Aut}(C_4)\cong C_2$ となり、$|N_{S_8}(H)|=32\cdot 2=64$ である。

$N_{S_8}(H)$ は奇置換 $(1234)$ を含むので、$A_8$ との共通部分は指数 $2$ の部分群であり、$|N_{A_8}(H)|=32$ である。

検算: $H$ の $S_8$ での共役は $1260/2=630$ 個ある。$A_8$ はこれらに推移的に作用するので、$|N_{A_8}(H)|=20160/630=32$ となり、上の結果と一致する。

答え: $(1260,32)$