群論の問題

台の保存. 置換 $g$ が動かす点の集合を $\mathrm{supp}(g)$ とすると、$\mathrm{supp}(\tau g{\tau }^{-1})=\tau (\mathrm{supp}(g))$ である。$V$ の元が動かす点全体の和集合は $\{1,2,3,4\}$ なので、$\tau \in N_{S_6}(V)$ ならば
$$\tau (\{1,2,3,4\})=\bigcup _{g\in V}\mathrm{supp}(\tau g{\tau }^{-1})=\bigcup _{g\in V}\mathrm{supp}(g)=\{1,2,3,4\}.$$
よって $\tau$ は $\{1,2,3,4\}$ と $\{5,6\}$ をそれぞれ保ち、$\tau =\alpha \beta$（$\alpha \in \mathrm{Sym}\{1,2,3,4\}\cong S_4$, $\beta \in \mathrm{Sym}\{5,6\}$）と一意に書ける。

逆の包含. $\beta$ は $V$ の元と可換なので $\tau V{\tau }^{-1}=\alpha V{\alpha }^{-1}$。$V$ は $S_4$ の単位元と $3$ つの $(2,2)$ 型置換（$S_4$ の一つの共役類）からなるので、$S_4$ の正規部分群である。したがって任意の $\alpha \in S_4$ で $\alpha V{\alpha }^{-1}=V$ となる。

以上より
$$N_{S_6}(V)=\mathrm{Sym}\{1,2,3,4\}\times \mathrm{Sym}\{5,6\},|N_{S_6}(V)|=24\cdot 2=48.$$

検算. $V$ の $S_6$ における共役部分群の個数は $[S_6:N_{S_6}(V)]=720/48=15$ である。一方、$V$ と共役な部分群は「$6$ 点から $4$ 点を選び、その $4$ 点上の $(2,2)$ 型置換 $3$ つと $e$ からなる部分群」であり、その個数は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4}\right)=15$ で一致する。

$V$ の非自明な元が動かす点全体は $\{1,2,3,4\}$ である。$\tau V{\tau }^{-1}=V$ なら、$\tau$ は $V$ の元が動かす点の集合を保つ（$\tau \sigma {\tau }^{-1}$ は $\tau$ で移した点を動かす）ので $\tau (\{1,2,3,4\})=\{1,2,3,4\}$、したがって $\tau (\{5,6\})=\{5,6\}$。よって $N_{S_6}(V)\subseteq S_{\{1,2,3,4\}}\times S_{\{5,6\}}\cong S_4\times S_2$。

逆に、$S_4\times S_2$ の元 $\tau$ に対し、$V$ は $S_4$ の正規部分群（共役で互換型 $(2,2)$ の置換全体 = $V$ の非自明元 3 個を保つ）であり、$\{5,6\}$ 上の置換は $V$ の元と可換なので $\tau V{\tau }^{-1}=V$。

ゆえに $N_{S_6}(V)=S_4\times S_2$ で、位数は $24\cdot 2=48$。

検算: 共役類の個数で確認。$V$ の $S_6$ での共役の個数 $=720/|N|$。$S_6$ 内で $V$ と共役な部分群は、4 点の選び方 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4}\right)=15$ 通りに対し各 4 点上の Klein 群（正規型）1 個なので 15 個。$720/15=48$ で一致。