群論の問題

$S_7$ での中心化群. $S_n$ において、巡回型が長さ $k$ の巡回置換を $m_k$ 個もつ（固定点は長さ $1$ と数える）置換の中心化群の位数は ${\prod }_k{k}^{m_k}{m}_k!$ である。$\sigma =(123)(456)$ の巡回型は $3,3,1$（$7$ が固定点）なので $m_3=2$, $m_1=1$ で
$$|C_{S_7}(\sigma )|=3^2\cdot 2!\cdot 1^1\cdot 1!=18.$$
（実際、$S_7$ における $\sigma$ の共役類の大きさは、3 つずつ 2 組の巡回置換の選び方から $\frac{1}{2}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\cdot 2\cdot 2=280$ で、$5040/280=18$ と一致する。）

具体的には $C_{S_7}(\sigma )$ は、$⟨(123)⟩\times ⟨(456)⟩$（位数 $9$）と、2 つの $3$-サイクルを入れ替える $\pi =(14)(25)(36)$ で生成される位数 $18$ の群である。

$A_7$ との共通部分. $C_{A_7}(\sigma )=C_{S_7}(\sigma )\cap A_7$ である。$\pi =(14)(25)(36)$ は互換 $3$ 個の積なので奇置換であり、$C_{S_7}(\sigma )$ は奇置換を含む。したがって符号写像 $\mathrm{sgn}:C_{S_7}(\sigma )\to \{\pm 1\}$ は全射で、その核 $C_{A_7}(\sigma )$ の指数は $2$ となる。よって
$$|C_{A_7}(\sigma )|=\frac{18}{2}=9.$$
（実際 $C_{A_7}(\sigma )=⟨(123)⟩\times ⟨(456)⟩$ である。）

答え: $9$

$S_7$ における $\sigma$ の共役類は型 $(3,3,1)$ で、中心化群の位数は $3^2\cdot 2!\cdot 1^1\cdot 1!=18$（各 3-サイクルの巡回 $3\cdot 3$、2 つの 3-サイクルの入れ替え $2$）。$C_{S_7}(\sigma )=⟨(123),(456)⟩⋊⟨(14)(25)(36)⟩$ で、$(14)(25)(36)$ は 3 個の互換の積なので奇置換。位数 18 の群のうち偶置換の部分群は指数 2（奇置換が存在するため）で、$|C_{A_7}(\sigma )|=18/2=9$。
検算: $C_{A_7}(\sigma )=C_{S_7}(\sigma )\cap A_7$。$⟨(123),(456)⟩$ の元は位数 3 の積で偶置換、位数 9 の部分群全体が $A_7$ に含まれる。(14)(25)(36) 型の元は奇置換なので除かれる。よって位数 9。また $S_7$ の類の大きさ $5040/18=280$、$A_7$ では類が分裂せず $|A_7|/|C|=2520/9=280$ で一致。