群論の問題

シロー部分群への分解. 中国剰余定理より $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ なので
$$G\cong P\times Q,P=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},Q=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.$$
$P$ は $G$ の位数が $2$ のべきである元全体、$Q$ は位数が $3$ のべきである元全体であり、自己同型は元の位数を保つから $P,Q$ は特性部分群である。したがって自己同型 $\phi$ は $\phi {|}_P\in \mathrm{Aut}(P)$, $\phi {|}_Q\in \mathrm{Aut}(Q)$ を与え、逆に組 $(\alpha ,\beta )$ から $\alpha \times \beta$ が得られるので
$$\mathrm{Aut}(G)\cong \mathrm{Aut}(P)\times \mathrm{Aut}(Q).$$

$\mathrm{Aut}(Q)$. $Q$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上の $2$ 次元ベクトル空間とみなせ、群の自己同型は ${\mathbb{F}}_3$-線形同型と同じなので
$$|\mathrm{Aut}(Q)|=|G{L}_2({\mathbb{F}}_3)|=(3^2-1)(3^2-3)=8\cdot 6=48.$$

$\mathrm{Aut}(P)$. $P$ の生成元を $a=(1,0)$（位数 $4$）, $b=(0,1)$（位数 $2$）とする。自己同型 $\phi$ は $\phi (a),\phi (b)$ で決まる。
- $\phi (a)$ は位数 $4$ の元でなければならない。位数 $4$ の元は $a,3a,a+b,3a+b$ の $4$ 個。
- $\phi (b)$ は位数 $2$ の元で、$\phi (a)$ が生成する巡回群 $⟨\phi (a)⟩$ に含まれないものでなければならない（含まれると像が位数 $4$ の巡回群になり全射でない）。位数 $2$ の元は $2a,b,2a+b$ の $3$ 個で、どの位数 $4$ の元 $x$ についても $⟨x⟩$ に含まれる位数 $2$ の元は $2x=2a$ である。よって $\phi (b)\in \{b,2a+b\}$ の $2$ 通り。

このように選ぶと、関係式 $4\phi (a)=0$, $2\phi (b)=0$ を満たすので準同型が定まり、像は $⟨\phi (a)⟩$（位数 $4$）と $\phi (b)$ で生成され位数 $8$ となるので全単射である。よって
$$|\mathrm{Aut}(P)|=4\cdot 2=8.$$

結論.
$$|\mathrm{Aut}(G)|=8\cdot 48=384.$$

中国剰余定理より $\mathbb{Z}/12\cong \mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/3$, $\mathbb{Z}/6\cong \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/3$ なので、$G\cong (\mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/2)\times (\mathbb{Z}/3{)}^2$。位数 $144$ の有限アーベル群は Sylow 部分群の直積で、自己同型は各 Sylow 部分群（特性部分群）を保つので $\mathrm{Aut}(G)\cong \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/2)\times \mathrm{Aut}((\mathbb{Z}/3{)}^2)$。

(1) $\mathrm{Aut}((\mathbb{Z}/3{)}^2)=G{L}_2({\mathbb{F}}_3)$ の位数は $(3^2-1)(3^2-3)=8\cdot 6=48$。

(2) $H=\mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/2$ の生成元を $a$（位数 4）, $b$（位数 2）とする。自己同型は $a\mapsto a^{\prime }$, $b\mapsto b^{\prime }$ で、$a^{\prime }$ は位数 4 の元、$b^{\prime }$ は位数 2 の元で $a^{\prime }$ の生成する部分群に入らないもの、かつ $H=⟨a^{\prime },b^{\prime }⟩$ となるもの。位数 4 の元は $(\pm 1,0),(\pm 1,1)$ の 4 個。位数 2 の元は $(2,0),(0,1),(2,1)$ の 3 個で、$a^{\prime }$ に対し $2a^{\prime }=(2,0)$ なので $b^{\prime }$ は $(0,1),(2,1)$ の 2 個が可能（$(2,0)\in ⟨a^{\prime }⟩$ は不可）。よって $4\cdot 2=8$ 通り。いずれも全単射（$⟨a^{\prime },b^{\prime }⟩$ の位数が 8）となる。よって $|\mathrm{Aut}(H)|=8$。

(3) 合計 $8\cdot 48=384$。

検算: 一般公式 $|\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/2)|=8$ は既知（$D_4$ と同型）で一致する。