有限アーベル群の自己同型群の位数

$Aut (G) ≅ \prod_{p} Aut (G_{p})$ （ $G_{p}$ はシロー $p$ 部分群）に分け、 $Aut (Z / p^{a}) ≅ (Z / p^{a})^{\times}$ 、 $Aut ((Z / p)^{n}) ≅ G L_{n} (F_{p})$ を使い、一般の $p$ 群 $⨁_{i} Z / p^{e_{i}}$ では自己準同型を成分 $Hom (Z / p^{e_{j}}, Z / p^{e_{i}})$ の行列で表して、可逆になるものを数えて位数を求められる（例: $∣ Aut ((Z /2)^{2}) ∣ = 6$ 、 $∣ Aut (Z /2 \oplus Z /4) ∣ = 8$ ）

前提

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算数中学高校大学大学院

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説明

有限アーベル群 $G$ の自己同型（ $G$ から $G$ への同型写像）全体のなす群 $Aut (G)$ の位数を求めます。まず $G$ を素数ごとの部分 $G_{p}$ に分けて $∣ Aut (G) ∣ = \prod_{p} ∣ Aut (G_{p}) ∣$ とし、各 $G_{p} = ⨁_{i} Z / p^{e_{i}}$ では自己準同型を行列で表して、可逆なものを数えます。特別な場合として $∣ Aut (Z / n) ∣ = φ (n)$ 、 $∣ Aut ((Z / p)^{n}) ∣ = ∣ G L_{n} (F_{p}) ∣ = \prod_{i = 0}^{n - 1} (p^{n} - p^{i})$ が出てきます。群の対称性の大きさを数えたり、半直積の作り方を数えたりするときの基礎になります。

なぜそうしてよいのか

$G_{p}$ を $G$ の元のうち位数が $p$ のべきであるもの全体とすると（ $G$ がアーベル群なので、これは $G$ のシロー $p$ 部分群で） $G = ⨁_{p} G_{p}$ です。準同型 $f$ は元の位数を割り切る位数の元に移すので $f (G_{p}) \subseteq G_{p}$ となり、 $f$ は各 $G_{p}$ 上の自己準同型の組と同じものです。 $f$ が全単射であることと各成分が全単射であることは同値なので $Aut (G) ≅ \prod_{p} Aut (G_{p})$ です。巡回群 $Z / n$ の自己準同型は $x \mapsto a x$ （ $a = f (1)$ ）で、これが全単射になるのは $1$ の像 $a$ が生成元、つまり $g cd (a, n) = 1$ のときなので $Aut (Z / n) ≅ (Z / n)^{\times}$ 、位数 $φ (n)$ です。 $(Z / p)^{n}$ は $F_{p}$ 上の $n$ 次元ベクトル空間で、スカラー倍は整数倍なので加法を保つ写像は自動的に線形写像です。よって $Aut ((Z / p)^{n}) = G L_{n} (F_{p})$ で、位数は 1 列目を $0$ 以外、2 列目を 1 列目の張る空間の外、…と選んで $\prod_{i = 0}^{n - 1} (p^{n} - p^{i})$ です。

一般の $G_{p} = ⨁_{i = 1}^{n} Z / p^{e_{i}}$ （生成元 $g_{i}$ ）では、自己準同型 $f$ は $f_{k i} \in Hom (Z / p^{e_{i}}, Z / p^{e_{k}})$ （ $g_{i}$ の像の第 $k$ 成分）を並べた行列で表され、 $∣ Hom (Z / p^{e_{i}}, Z / p^{e_{k}}) ∣ = p^{m i n (e_{i}, e_{k})}$ なので $∣ End (G_{p}) ∣ = p^{\sum_{i, k} m i n (e_{i}, e_{k})}$ です。どれが可逆かは次のように判定します。 $G_{p}$ は有限なので $f$ が全単射 $⟺$ 単射で、核に $0$ でない元があればその適当な倍数は位数 $p$ なので、 $f$ が単射 $⟺$ $f$ を $G_{p} [p] = {x ∣ p x = 0}$ に制限して単射です。 $G_{p} [p]$ は $u_{i} = p^{e_{i} - 1} g_{i}$ を基底とする $F_{p}$ 上のベクトル空間です。 $f (u_{i})$ の第 $k$ 成分は $p^{e_{i} - 1} f_{k i} (g_{i})$ で、 $e_{k} < e_{i}$ なら $p^{e_{i} - 1}$ 倍で消え、 $e_{k} \geq e_{i}$ なら $f_{k i} (g_{i}) = p^{e_{k} - e_{i}} t$ と書けて $t u_{k}$ になります。つまり $G_{p} [p]$ 上の行列は「指数の小さい成分から大きい成分へ」の部分だけをもつブロック三角行列で、対角ブロックは指数が等しい成分どうしの $f_{k i}$ を $mod p$ したものです。

したがって $f$ が自己同型 $⟺$ 各指数 $e$ について、 $Z / p^{e}$ の成分どうし（ $n_{e}$ 個とする）の $n_{e} \times n_{e}$ ブロックを $mod p$ したものが $G L_{n_{e}} (F_{p})$ に入ること、です。対角ブロックの各成分は $Z / p^{e}$ の元で、 $mod p$ の値ごとに同じ個数ずつあるので、可逆なものの割合は $mod p$ での割合 $∣ G L_{n_{e}} (F_{p}) ∣/ p^{n_{e}^{2}}$ に等しく、
$∣ Aut (G_{p}) ∣ = p^{\sum_{i, k} m i n (e_{i}, e_{k})} e \prod \frac{∣ G L _{n_{e}} ( F _{p} ) ∣}{p ^{n_{e}^{2}}}$
となります。例: $Z /2 \oplus Z /4$ では $∣ End ∣ = 2^{1 + 1 + 1 + 2} = 32$ 、割合 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ で $8$ 。

手順

$G$ を素数ごとに分け、 $G = ⨁_{p} G_{p}$ 、 $G_{p} = ⨁_{i} Z / p^{e_{i}}$ と書く。 $∣ Aut (G) ∣ = \prod_{p} ∣ Aut (G_{p}) ∣$ 。
$G_{p}$ が巡回群 $Z / p^{a}$ なら $∣ Aut ∣ = φ (p^{a}) = p^{a - 1} (p - 1)$ 、 $(Z / p)^{n}$ なら $∣ G L_{n} (F_{p}) ∣ = \prod_{i = 0}^{n - 1} (p^{n} - p^{i})$ 。
一般の $G_{p}$ では、自己準同型の個数 $∣ End (G_{p}) ∣ = p^{\sum_{i, k} m i n (e_{i}, e_{k})}$ を求める（行列の各成分が $Hom (Z / p^{e_{i}}, Z / p^{e_{k}})$ で、個数 $p^{m i n (e_{i}, e_{k})}$ ）。
指数 $e$ ごとにその指数の成分の個数 $n_{e}$ を数え、可逆になる割合 $\prod_{e} ∣ G L_{n_{e}} (F_{p}) ∣/ p^{n_{e}^{2}}$ を掛けて $∣ Aut (G_{p}) ∣$ を得る。
すべての素数 $p$ についての値を掛ける。

例題

$G = Z /6 \oplus Z /18$ の自己同型群 $Aut (G)$ の位数を求めよ。

例題の解答

手順 1: $Z /6 ≅ Z /2 \oplus Z /3$ 、 $Z /18 ≅ Z /2 \oplus Z /9$ なので $G_{2} = Z /2 \oplus Z /2$ 、 $G_{3} = Z /3 \oplus Z /9$ 。 $∣ Aut (G) ∣ = ∣ Aut (G_{2}) ∣ \cdot ∣ Aut (G_{3}) ∣$ 。

手順 2: $G_{2} = (Z /2)^{2}$ なので $∣ Aut (G_{2}) ∣ = ∣ G L_{2} (F_{2}) ∣ = (4 - 1) (4 - 2) = 6$ 。

手順 3: $G_{3}$ は指数 $(e_{1}, e_{2}) = (1, 2)$ 。 $\sum_{i, k} min (e_{i}, e_{k}) = min (1, 1) + min (1, 2) + min (2, 1) + min (2, 2) = 1 + 1 + 1 + 2 = 5$ なので $∣ End (G_{3}) ∣ = 3^{5} = 243$ 。

手順 4: 指数 $1$ の成分も指数 $2$ の成分も $1$ 個ずつ（ $n_{1} = n_{2} = 1$ ）。 $∣ G L_{1} (F_{3}) ∣/3 = 2/3$ なので、割合は $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ 。 $∣ Aut (G_{3}) ∣ = 243 \cdot \frac{4}{9} = 108$ 。（具体的には、 $Z /3 \to Z /3$ の成分が $0$ 以外で $2$ 通り、 $Z /9 \to Z /9$ の成分が単元で $6$ 通り、残りの 2 成分が $3$ 通りずつで $2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 3 = 108$ 。）

手順 5: $∣ Aut (G) ∣ = 6 \cdot 108 = 648$ 。

答え: $648$

よくある誤り

$Z / p \oplus Z / p^{2}$ の自己同型群を $G L_{2} (F_{p})$ と同じものとしてしまう誤り。たとえば $∣ Aut (Z /2 \oplus Z /4) ∣ = ∣ G L_{2} (F_{2}) ∣ = 6$ とする。正しくは成分ごとに $Hom$ を数え、 $1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ （ $Z /2 \to Z /2$ が $0$ 以外で $1$ 通り、 $Z /4 \to Z /4$ が単元で $2$ 通り、残り 2 成分が $2$ 通りずつ）。
$∣ Aut (Z / n) ∣$ を $0$ 以外の元の個数 $n - 1$ としてしまう誤り。 $1$ の像は生成元でなければならないので、たとえば $∣ Aut (Z /9) ∣ = 8$ ではなく $φ (9) = 6$ （ $3, 6$ は生成元でない）。
素数が共通な直和でも $Aut (A \oplus B) = Aut (A) \times Aut (B)$ としてしまう誤り。たとえば $∣ Aut (Z /2 \oplus Z /2) ∣ = 1 \cdot 1 = 1$ とする。正しくは成分を混ぜる自己同型があり $∣ G L_{2} (F_{2}) ∣ = 6$ 。積に分けてよいのは、位数が互いに素な部分（異なる素数の $G_{p}$ ）どうしだけ。
$Hom (Z / p^{e_{i}}, Z / p^{e_{k}})$ の個数を値域の位数 $p^{e_{k}}$ としてしまう誤り。たとえば $Hom (Z /2, Z /4)$ を $4$ 個とする。正しくは $1$ の像 $x$ が $2 x \equiv 0 (mod 4)$ を満たす必要があり、 $x = 0, 2$ の $g cd (2, 4) = 2$ 個、一般に $p^{m i n (e_{i}, e_{k})}$ 個。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
アーベル群
$G = Z /3 Z \oplus Z /3 Z \oplus Z /5 Z$
の自己同型群 $Aut (G)$ の位数を求めよ。

有限アーベル群の自己同型群の位数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題