群論の問題

$A=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ とおく。

1. 数え方の言い換え. ${\mathbb{Z}}^3/H\cong A$ となる $H$ を与えることは、全射準同型 $\phi :{\mathbb{Z}}^3\to A$ を与えて $H=\ker \phi$ とすることと同じである。2 つの全射 $\phi ,\psi$ が同じ核をもつのは、ある $\alpha \in \mathrm{Aut}(A)$ で $\psi =\alpha \circ \phi$ となるときに限る。また $\alpha \circ \phi =\phi$ なら $\phi$ の全射性から $\alpha =\mathrm{id}$ である。よって $\mathrm{Aut}(A)$ は全射の集合 $\mathrm{Epi}({\mathbb{Z}}^3,A)$ に自由に作用し、求める個数は
$$N=\frac{|\mathrm{Epi}({\mathbb{Z}}^3,A)|}{|\mathrm{Aut}(A)|}$$
である。

2. 素数ごとに分ける. 中国剰余定理より $A\cong A_2\oplus A_3$、ただし $A_2=\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/4$、$A_3=\mathbb{Z}/3$ である。位数が互いに素なので、$\phi =({\phi }_2,{\phi }_3)$ が全射であることと、${\phi }_2,{\phi }_3$ がともに全射であることは同値である。また $\mathrm{Aut}(A)=\mathrm{Aut}(A_2)\times \mathrm{Aut}(A_3)$ である。したがって
$$N=\frac{|\mathrm{Epi}({\mathbb{Z}}^3,A_2)|}{|\mathrm{Aut}(A_2)|}\cdot \frac{|\mathrm{Epi}({\mathbb{Z}}^3,A_3)|}{|\mathrm{Aut}(A_3)|}.$$

3. $3$ の部分. $\mathrm{Hom}({\mathbb{Z}}^3,\mathbb{Z}/3)\cong (\mathbb{Z}/3{)}^3$ のうち全射は $0$ 以外の $27-1=26$ 個である。$|\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/3)|=2$ より、この因子は $26/2=13$ である。

4. $2$ の部分. ${\phi }_2:{\mathbb{Z}}^3\to A_2$ の像を $B$ とする。$B+2A_2=A_2$ ならば
$$A_2=B+2(B+2A_2)=B+4A_2=B$$
となる。よって ${\phi }_2$ が全射であることと、合成 ${\mathbb{Z}}^3\to A_2/2A_2\cong (\mathbb{Z}/2{)}^2$ が全射であることは同値である。

• $\mathrm{Hom}({\mathbb{Z}}^3,A_2)\cong A_2^3$ の位数は $8^3=512$ である。
• $\mathrm{Hom}({\mathbb{Z}}^3,(\mathbb{Z}/2{)}^2)$ の位数は $4^3=64$ である。
• ${\mathbb{Z}}^3$ は自由なので、還元写像 $\mathrm{Hom}({\mathbb{Z}}^3,A_2)\to \mathrm{Hom}({\mathbb{Z}}^3,(\mathbb{Z}/2{)}^2)$ は全射な群準同型であり、各ファイバーの大きさは $512/64=8$ である。
• ${\mathbb{Z}}^3\to (\mathbb{Z}/2{)}^2$ の全射は、${\mathbb{F}}_2$ 上の階数 $2$ の $2\times 3$ 行列に対応する。2 つの行が一次独立であればよいので、その個数は $(8-1)(8-2)=42$ である。

ゆえに $|\mathrm{Epi}({\mathbb{Z}}^3,A_2)|=42\cdot 8=336$ である。

次に $|\mathrm{Aut}(A_2)|$ を求める。自己同型は、生成元 $(0,1)$ の行き先 $u$（位数 $4$ の元）と $(1,0)$ の行き先 $v$（位数 $2$ で $v\notin ⟨u⟩$）で決まる。

• 位数 $4$ の元は $(a,b)$ で $b$ が奇数のものであり、$4$ 個ある。
• 位数 $2$ の元は $(1,0),(0,2),(1,2)$ の $3$ 個で、このうち $2u=(0,2)$ を除く $2$ 個が $v$ になりうる。

よって $|\mathrm{Aut}(A_2)|=4\cdot 2=8$ であり、この因子は $336/8=42$ である。

（検算：双対性より、これは $(\mathbb{Z}/4{)}^3$ の部分群で $\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/4$ と同型なものの個数に等しい。位数 $4$ の元 $56$ 個と、$2a$ 以外の位数 $2$ の元 $6$ 個の組は $336$ 組あり、これを $8$ で割ると $42$ となって一致する。）

5. 結論.
$$N=42\cdot 13=546.$$

${\mathbb{Z}}^3/H$ が有限群となる $H$ は階数 3 の部分格子である。$H\mapsto$（${\mathbb{Z}}^3\to G$ の全射の核）という対応により、求める個数は $\mathrm{Sur}({\mathbb{Z}}^3,G)/|\mathrm{Aut}(G)|$ に等しい。ここで $G=\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/12\cong (\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/4)\oplus \mathbb{Z}/3$ である。素数ごとに分けて数え、積をとる。

(1) 3-部分は $\mathbb{Z}/3$。指数 3 の部分群は、${\mathbb{F}}_3^3$ の零でない線形形式を定数倍を除いて数えた個数に等しい。よって $(3^3-1)/2=13$。

(2) 2-部分は $P=\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/4$。${\mathbb{Z}}^3\to P$ が全射であることは、$P/2P\cong {\mathbb{F}}_2^2$ への合成が全射であることと同値である（Frattini 部分群が $2P$ だから）。
- ${\mathbb{F}}_2^3\to {\mathbb{F}}_2^2$ の全射は $(2^3-1)(2^3-2)=42$ 個。
- 各全射の持ち上げは、$P\to P/2P$ のファイバーの大きさが 2 なので $2^3=8$ 通り。

よって全射は $42\cdot 8=336$ 個。

$|\mathrm{Aut}(P)|$ を数える。位数 4 の元は $(a,b)$ で $b$ が奇数のもの、すなわち 4 個。$e_1$ の像は位数 2 の元で $⟨\phi (e_2)⟩$ に入らないもの、すなわち $(1,0),(1,2)$ の 2 個。よって $|\mathrm{Aut}(P)|=4\cdot 2=8$。

2-部分の個数は $336/8=42$。

(3) 全体は $42\times 13=546$。

検算：${\mathbb{Z}}^3$ の指数 $p^n$ の部分群のうち商が $\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/4$ となるものの個数は、ヘルマイト標準形（部分群の数え上げ）から 42 となり、上と整合する。