有限アーベル群の分類（単因子と素因子型）

位数 $n = \prod p^{e_{p}}$ のアーベル群の同型類の個数が $\prod_{p} p (e_{p})$ （ $p (e)$ は分割数）であることを使って数え、素因子型（ $Z / p^{a}$ の直和）と単因子型 $Z / d_{1} \oplus \dots \oplus Z / d_{k}$ （ $d_{1} ∣ \dots ∣ d_{k}$ ）を相互に書きかえられる。 $k$ が各素数の分割の部分の個数の最大値になることがわかる（例: 位数 $720$ のアーベル群は $5 \cdot 2 \cdot 1 = 10$ 個）

前提

有限アーベル群の構造と部分群の個数（大学数学代数学）
分割数と分割の母関数（大学数学離散数学・組合せ論）

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算数中学高校大学大学院

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有限アーベル群の構造と部分群の個数（大学数学代数学）
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母関数と係数の取り出し（大学数学離散数学・組合せ論）
分割数と分割の母関数（大学数学離散数学・組合せ論）

説明

有限アーベル群は巡回群の直和に分けられ、その分け方には「素数べき位数の巡回群 $Z / p^{a}$ を並べる素因子型」と「 $d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots ∣ d_{k}$ となる $Z / d_{1} \oplus \dots \oplus Z / d_{k}$ の単因子型」という 2 つの標準形があります。どちらの形も同型類ごとにただ 1 つに決まるので、位数 $n = \prod p^{e_{p}}$ のアーベル群の同型類の個数は、各指数 $e_{p}$ の分割数の積 $\prod_{p} p (e_{p})$ で数えられます。また、与えられた直和を 2 つの標準形の間で書きかえて、2 つの群が同型かどうかの判定や、巡回群の直和として最少で何個必要か（ $k$ ）を求められます。

なぜそうしてよいのか

出発点は、 $g cd (r, s) = 1$ なら $Z / r s ≅ Z / r \oplus Z / s$ であることです（ $x mod r s \mapsto (x mod r, x mod s)$ は準同型で、核は $r$ と $s$ の公倍数すなわち $r s$ の倍数だけなので単射、両辺とも位数 $r s$ なので全単射）。これを使えば、巡回群の直和はどれも $n$ を素因数分解して $Z / p^{a}$ の直和に分解し直せます。有限アーベル群の基本定理は「位数 $n$ の有限アーベル群は $Z / p^{a}$ の形の群の直和に同型で、各素数 $p$ について現れる指数の組 $a_{1} \geq a_{2} \geq \dots$ は群から一意に決まる」と述べます。各 $p$ の部分の位数は $p^{a_{1} + a_{2} + \dots} = p^{e_{p}}$ なので、指数の組は $e_{p}$ の分割にほかなりません。

一意性は元の個数で確かめられます。 $Z / p^{a}$ の中で $p^{j} x = 0$ を満たす $x$ は $p^{m i n (a, j)}$ 個なので、 $p$ の部分 $⨁_{i} Z / p^{a_{i}}$ でそれを満たす元は $p^{\sum_{i} m i n (a_{i}, j)}$ 個です。 $j = 1, 2, \dots$ についてこの個数がわかると、 $\sum_{i} min (a_{i}, j) - \sum_{i} min (a_{i}, j - 1)$ が「 $a_{i} \geq j$ となる $i$ の個数」、つまりヤング図形の第 $j$ 列の長さになり、分割が復元されます。同型な群ではこの個数は等しいので、分割が違えば同型ではありません。したがって、各素数ごとに $e_{p}$ の分割を独立に選ぶことが同型類を 1 つ選ぶことにちょうど対応し、積の法則から同型類の個数は $\prod_{p} p (e_{p})$ です。

単因子型への書きかえは、各素数の指数を大きい順に並べて、「一番大きいものどうし」「二番目どうし」…を掛け合わせることで得られます。 $p$ ごとの $i$ 番目に大きい指数を $a_{p, i}$ （足りなければ $0$ ）とし、 $d_{k} = \prod_{p} p^{a_{p, 1}}$ , $d_{k - 1} = \prod_{p} p^{a_{p, 2}}$ , … と置くと、各 $d$ の中の素数べきは互いに素なので $Z / d$ は最初の事実によりそれらの直和に一致し、大きい順に並べたので $d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots ∣ d_{k}$ になります。並べる個数 $k$ は、各素数の分割の部分の個数の最大値です。逆向き（単因子型から素因子型）は各 $d_{i}$ を素因数分解すれば得られます。

手順

位数 $n$ を素因数分解して $n = \prod_{p} p^{e_{p}}$ と書く。同型類の個数を問われたら $\prod_{p} p (e_{p})$ を計算する
与えられた直和の各成分 $Z / m$ を、 $m$ の素因数分解に従って $Z / p^{a}$ の直和に分ける（素因子型にする）
素数 $p$ ごとに指数を大きい順に並べる（ $e_{p}$ の分割になる）。足りない所は $0$ （ $p^{0} = 1$ ）で埋める
各素数の「 $i$ 番目に大きい素数べき」どうしを掛け、大きい順に $d_{k}, d_{k - 1}, \dots, d_{1}$ とする。 $k$ は各素数の分割の部分の個数の最大値
$d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots ∣ d_{k}$ と $d_{1} d_{2} \dots d_{k} = n$ を確かめる

例題

アーベル群 $A = Z /12 \oplus Z /18 \oplus Z /8$ を、 $d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots ∣ d_{k}$ （ $d_{1} > 1$ ）を満たす単因子型 $Z / d_{1} \oplus \dots \oplus Z / d_{k}$ に書き直したときの組 $(d_{1}, \dots, d_{k})$ を求めよ。

例題の解答

手順 1： $∣ A ∣ = 12 \cdot 18 \cdot 8 = 1728 = 2^{6} \cdot 3^{3}$ 。

手順 2：互いに素な因数への分解で素因子型にする。 $Z /12 ≅ Z /4 \oplus Z /3$ 、 $Z /18 ≅ Z /2 \oplus Z /9$ 、 $Z /8$ はそのまま。よって
$A ≅ (Z /8 \oplus Z /4 \oplus Z /2) \oplus (Z /9 \oplus Z /3) .$

手順 3： $p = 2$ の指数は $3 \geq 2 \geq 1$ （ $6 = 3 + 2 + 1$ の分割）、 $p = 3$ の指数は $2 \geq 1 \geq 0$ （ $3 = 2 + 1$ の分割に $0$ を補う）。

手順 4：部分の個数の最大値は $3$ なので $k = 3$ 。
- $d_{3} = 2^{3} \cdot 3^{2} = 72$
- $d_{2} = 2^{2} \cdot 3^{1} = 12$
- $d_{1} = 2^{1} \cdot 3^{0} = 2$

手順 5： $2 ∣ 12 ∣ 72$ 、 $2 \cdot 12 \cdot 72 = 1728 = ∣ A ∣$ で確認できる。よって $A ≅ Z /2 \oplus Z /12 \oplus Z /72$ 。

答え： $(2, 12, 72)$

答え: $(2, 12, 72)$

よくある誤り

同型類の個数を位数そのものの分割数 $p (n)$ や、素因数の個数で数えてしまう誤り。正しくは指数ごとの分割数の積 $\prod_{p} p (e_{p})$ 。例えば $720 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5$ なら $p (4) p (2) p (1) = 5 \cdot 2 \cdot 1 = 10$
互いに素でない位数の巡回群をまとめて $Z /2 \oplus Z /2 ≅ Z /4$ や $Z /6 \oplus Z /6 ≅ Z /36$ としてしまう誤り。 $Z / r \oplus Z / s ≅ Z / r s$ は $g cd (r, s) = 1$ のときだけ成り立つ（ $Z /2 \oplus Z /2$ には位数 $4$ の元がない）
単因子型を作るときに、ある素数の大きい指数と別の素数の小さい指数を組み合わせてしまう誤り（例: $Z /8 \oplus Z /2 \oplus Z /9 \oplus Z /3$ から $Z /24 \oplus Z /18$ とすると $24 ∤ 18$ で単因子型にならない）。正しくは大きいものどうしを掛けて $Z /6 \oplus Z /72$
単因子型の個数 $k$ を、現れる素数の個数や全素因子の個数としてしまう誤り。正しくは各素数の分割の部分の個数の最大値で、例えば $Z /2 \oplus Z /2 \oplus Z /2 \oplus Z /3$ では $k = 3$ （ $Z /2 \oplus Z /2 \oplus Z /6$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
位数 $200$ のアーベル群は、同型を除いて何個あるか。

有限アーベル群の分類（単因子と素因子型）

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

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よくある誤り

入口の問題

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