群論の問題

$720=2^4\cdot 3^2\cdot 5$ である。有限アーベル群はシロー部分群の直和に分解し、位数 $p^n$ のアーベル群の同型類は $n$ の分割と 1 対 1 に対応する（分割 $({\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots )$ が $\mathbb{Z}/p^{{\lambda }_1}\oplus \mathbb{Z}/p^{{\lambda }_2}\oplus \cdots$ に対応）。

単因子の個数 $k$ は、各素数 $p$ についての分割の部分（パート）の個数の最大値に等しい（単因子 $d_k$ は各 $p$ の最大の成分を集め、$d_{k-1}$ は 2 番目に大きい成分を集め…と作るため）。

よって「$k\le 2$」となるのは、各素数の分割がすべて 2 個以下のパートからなるときである。
- $2^4$: $4$ の分割のうちパートが 2 個以下のもの: $(4),(3,1),(2,2)$ の $3$ 個。
- $3^2$: $(2),(1,1)$ の $2$ 個。
- $5^1$: $(1)$ の $1$ 個。

したがって $k\le 2$ のものは $3\times 2\times 1=6$ 個。このうち $k=1$（巡回群 $\mathbb{Z}/720$）は $1$ 個なので、$k=2$ のものは $6-1=5$ 個である。

（具体的には $\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/360$, $\mathbb{Z}/4\oplus \mathbb{Z}/180$, $\mathbb{Z}/3\oplus \mathbb{Z}/240$, $\mathbb{Z}/6\oplus \mathbb{Z}/120$, $\mathbb{Z}/12\oplus \mathbb{Z}/60$ の 5 つ。）

$720=2^4\cdot 3^2\cdot 5$。位数 720 のアーベル群は各素数べきの部分の直積で、各部分は分割に対応する（分割の部分の個数がその素数の部分の巡回因子の個数）。単因子分解の項数 $k$ は、各素数での分割の部分の個数の最大値。

• $2^4$: 分割 $(4),(3,1),(2,2),(2,1,1),(1,1,1,1)$。部分の個数は $1,2,2,3,4$。
• $3^2$: $(2),(1,1)$。部分の個数は $1,2$。
• $5^1$: $(1)$。部分の個数は 1。

$k\le 2$ となる組: 2 の部分は部分の個数 $\le 2$ の 3 通り、3 の部分は 2 通り、5 の部分は 1 通り。計 $3\cdot 2\cdot 1=6$。
$k\le 1$（巡回群）: $1\cdot 1\cdot 1=1$。

よって $k=2$ は $6-1=5$ 個。

検算: 位数 720 のアーベル群の総数は $5\cdot 2\cdot 1=10$ 個。$k=2$ の 5 個は例えば $\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/360$, $\mathbb{Z}/4\oplus \mathbb{Z}/180$, $\mathbb{Z}/3\oplus \mathbb{Z}/240$, $\mathbb{Z}/6\oplus \mathbb{Z}/120$, $\mathbb{Z}/12\oplus \mathbb{Z}/60$ で、条件 $d_1>1$, $d_1\mid d_2$ を満たす。