群論の問題

手順 1: シロー部分群に分ける。 $|G|=45=3^2\cdot 5$ であり、$G$ のシロー $3$ 部分群は $G_3=(\mathbb{Z}/3{)}^2$、シロー $5$ 部分群は $G_5=\mathbb{Z}/5$ である。自己同型は位数を保つので各シロー部分群をそれ自身にうつし、
$$\mathrm{Aut}(G)\cong \mathrm{Aut}(G_3)\times \mathrm{Aut}(G_5)$$
となる。よって $|\mathrm{Aut}(G)|=|\mathrm{Aut}(G_3)|\cdot |\mathrm{Aut}(G_5)|$ である。

手順 2: $\mathrm{Aut}((\mathbb{Z}/3{)}^2)$ を数える。 $(\mathbb{Z}/3{)}^2$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上の $2$ 次元ベクトル空間とみなせ、群の自己同型は可逆な ${\mathbb{F}}_3$ 線形写像と同じなので $\mathrm{Aut}((\mathbb{Z}/3{)}^2)\cong G{L}_2({\mathbb{F}}_3)$。可逆行列の 1 列目は零でないベクトル $3^2-1=8$ 通り、2 列目は 1 列目の張る直線（$3$ 個の元）に入らないベクトル $3^2-3=6$ 通りなので
$$|G{L}_2({\mathbb{F}}_3)|=(9-1)(9-3)=48.$$

手順 3: $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/5)$ を数える。 $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/5)\cong (\mathbb{Z}/5{)}^{\times }$ なので、その位数は $\phi (5)=4$。

手順 4: 掛け合わせる。
$$|\mathrm{Aut}(G)|=48\cdot 4=192.$$

$G=(\mathbb{Z}/3{)}^2\oplus \mathbb{Z}/5$ で、位数が互いに素な 3-部分群 $P=(\mathbb{Z}/3{)}^2$ と 5-部分群 $Q=\mathbb{Z}/5$ の直和である。自己同型は各ソロー部分群（特性部分群）を保つので $\mathrm{Aut}(G)\cong \mathrm{Aut}(P)\times \mathrm{Aut}(Q)$。
$\mathrm{Aut}(P)\cong G{L}_2({\mathbb{F}}_3)$ で、位数は $(3^2-1)(3^2-3)=8\cdot 6=48$。$\mathrm{Aut}(Q)\cong (\mathbb{Z}/5{)}^{\times }$ で位数 $4$。
よって $|\mathrm{Aut}(G)|=48\cdot 4=192$。
検算: $G{L}_2({\mathbb{F}}_3)$ は第1列が 0 でない $9-1=8$ 通り、第2列が第1列の定数倍でない $9-3=6$ 通りで $48$。