群論

5 次対称群 $S_5$（位数 $120$）は自分自身に共役で作用する：$h\cdot x=hx{h}^{-1}$。巡回置換 $g=(123)$ の中心化群 $C_{S_5}(g)=\{h\in S_5\mid hg=gh\}$ の位数 $|C_{S_5}(g)|$ を求めよ。

各成分が $0$ または $1$ である $2\times 3$ 行列全体の集合を $X$ とする。群 $G=S_2\times S_3$ を、$(\sigma ,\tau )\in G$ が行列 $A=(a_{ij})$ の行を $\sigma$ で、列を $\tau$ で並べ替える作用
$$((\sigma ,\tau )\cdot A{)}_{\sigma (i)\tau (j)}=a_{ij}$$
によって $X$ に作用させる。この作用による軌道の個数（行の並べ替えと列の並べ替えで移り合う行列を同じとみなしたときの行列の種類の数）を求めよ。

半直積 $\mathbb{Z}/13{⋊}_{\rho }\mathbb{Z}/4$ をつくるための作用、すなわち群の準同型 $\rho :\mathbb{Z}/4\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/13)$ は全部で何個あるか。ここで $\mathbb{Z}/n$ は加法群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ を表し、自明な準同型も 1 個として数える。

位数 $200$ のアーベル群は、同型を除いて何個あるか。

7 次対称群 $S_7$ の置換 $\sigma =(12)(34)(567)$ について、中心化群 $C_{S_7}(\sigma )=\{\tau \in S_7\mid \tau \sigma =\sigma \tau \}$ の位数を求めよ。

${\mathbb{Z}}^2$ の部分群 $H$ を、2 つの元 $(4,6)$, $(2,8)$ で生成される部分群とし、$G={\mathbb{Z}}^2/H$ とする。$G$ は、正の整数 $d_1,d_2$ で $d_1\mid d_2$ を満たすものを用いて
$$G\cong \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z}$$
と表される。組 $(d_1,d_2)$ を求めよ。

アーベル群 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ への群準同型全体の集合
$$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})$$
の元の個数を求めよ。

$G$ を位数 $48$ の有限群とし、$G$ のシロー $3$ 部分群の個数を $n_3$ とする。シローの定理から $n_3$ が満たすべき条件（$n_3\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ と、$n_3$ が $|G|$ の $3$ と互いに素な部分を割り切ること）をともに満たす正の整数をすべて求めよ。

アーベル群
$$G=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$$
の自己同型群 $\mathrm{Aut}(G)$ の位数を求めよ。

位数 $39$ の群の同型類の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_7$ を位数 $7$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ を成分とする $2\times 2$ 行列で行列式が $1$ であるもの全体のなす群 $S{L}_2({\mathbb{F}}_7)$ の位数 $|S{L}_2({\mathbb{F}}_7)|$ を求めよ。

$G$ を位数 $39$ の非可換群とする。$G$ の元のうち、位数がちょうど $3$ であるものの個数を求めよ。

位数 $720$ のアーベル群を同型なものは同じとみなして考える。そのうち、単因子による分解
$$G\cong \mathbb{Z}/d_1\oplus \mathbb{Z}/d_2\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/d_k(d_1>1,d_1\mid d_2\mid \cdots \mid d_k)$$
における個数 $k$ がちょうど $2$ であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{Z}}^3$ の部分群 $H$ を、$3$ つの元
$$(2,2,0),(2,8,6),(0,6,6)$$
で生成される部分群とし、$G={\mathbb{Z}}^3/H$ とおく。群準同型 $G\to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 全体の個数を求めよ。

位数 $1225$ の有限群の同型類の個数を求めよ。すなわち、位数 $1225$ の群全体を同型によって分類したときの類の個数を求めよ。

$7$ 次交代群 $A_7$ の元 $\sigma =(123)(456)$ を考える。$\sigma$ の $A_7$ における中心化群
$$C_{A_7}(\sigma )=\{\tau \in A_7\mid \tau \sigma =\sigma \tau \}$$
の位数を求めよ。

アーベル群 $$G=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$ を考える。$G$ の自己同型群 $\mathrm{Aut}(G)$（$G$ から $G$ への群同型写像全体が写像の合成についてなす群）の位数を求めよ。

$6$ 次対称群 $S_6$（集合 $\{1,2,3,4,5,6\}$ の置換全体のなす群）の部分群
$$V=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$$
を考える。ただし $e$ は恒等置換である。$V$ の $S_6$ における正規化群
$$N_{S_6}(V)=\{\tau \in S_6\mid \tau V{\tau }^{-1}=V\}$$
の位数を求めよ。

$G$ を位数 $351=3^3\cdot 13$ の有限群とし、$G$ のシロー $13$-部分群は $G$ の正規部分群でないとする。$G$ の元の位数としてあらわれる正の整数をすべて求めよ。

${\mathbb{Z}}^3$ の部分群 $H$ を、3 つの元 $$(2,4,6),(4,2,0),(6,6,6)$$ で生成される部分群とし、$G={\mathbb{Z}}^3/H$ とおく。ここで $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ は加法群とみなす。群準同型 $f:G\to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ のうち、全射であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_5$ を位数 $5$ の有限体とし、$G=S{L}_2({\mathbb{F}}_5)$（${\mathbb{F}}_5$ 成分の $2\times 2$ 行列で行列式が $1$ のもの全体のなす群）とする。$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\in G$$ とおく。$A$ の $G$ における共役類 $\{gA{g}^{-1}\mid g\in G\}$ の元の個数を求めよ。

有限群 $G$（単位元を $e$ とする）が、元の個数 $k$（$k$ は正の整数）の集合 $X$ に左から推移的に作用しているとする。すなわち、任意の $x,y\in X$ に対して $g\cdot x=y$ となる $g\in G$ が存在する。$g\in G$ が固定点をもたないとは、$g\cdot x=x$ を満たす $x\in X$ が存在しないことをいう。

各 $x\in X$ の固定部分群 $G_x=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}$ が $G$ の部分群であること、および軌道・固定部分群定理（$x\in X$ の軌道 $G\cdot x$ について $|G\cdot x|=[G:G_x]$）とラグランジュの定理は用いてよい。

このとき、固定点をもたない $G$ の元は少なくとも $k-1$ 個あることを証明せよ。

$A$ を有限生成アーベル群（演算は加法で書く）とし、正の整数 $n$ に対して $nA=\{na\mid a\in A\}$ とおく。すべての素数 $p$ に対して剰余群 $A/pA$ が巡回群であると仮定する。このとき $A$ は巡回群であることを証明せよ。ただし、自明群 $\{0\}$ も巡回群とみなす。

なお、有限生成アーベル群の基本定理（単因子形）: 「任意の有限生成アーベル群 $A$ に対し、整数 $r\ge 0$, $k\ge 0$ と $1<d_1\mid d_2\mid \cdots \mid d_k$ を満たす整数 $d_1,\dots ,d_k$ が存在して $A\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z}$ となる」は用いてよい。

$q$ を奇素数の冪とし、${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。$S{L}_2({\mathbb{F}}_q)=\{A\in M_2({\mathbb{F}}_q)\mid \det A=1\}$ とおき、$I$ を $2$ 次の単位行列とする。このとき、$S{L}_2({\mathbb{F}}_q)$ の位数 $2$ の元はちょうど $1$ 個であり、それは $-I$ であることを証明せよ。体上の線形代数の基本事項（最小多項式、最小多項式が相異なる $1$ 次式の積に分解するとき行列が対角化可能であること）は用いてよい。

${\mathbb{F}}_7$ を位数 $7$ の有限体とし、$G=G{L}_2({\mathbb{F}}_7)$ を ${\mathbb{F}}_7$ の元を成分とする $2\times 2$ 正則行列全体が行列の積についてなす群とする。$G$ の元のうち、位数がちょうど $3$ であるものの個数を求めよ。

正四面体の $6$ 本の辺のそれぞれを、赤・青・黄の $3$ 色のうちのどれか $1$ 色で塗る。ただし、$3$ 色すべてを少なくとも $1$ 回ずつ使うものとする。正四面体の回転（向きを保つ合同変換）で互いに重ね合わせられる塗り方は同じとみなすとき、異なる塗り方は何通りあるか求めよ。

$8$ 次対称群 $S_8$ の部分群である $8$ 次交代群 $A_8$ において、元
$$\sigma =(1234)(5678)\in A_8$$
を考える。$A_8$ における $\sigma$ の共役類
$$\{\tau \sigma {\tau }^{-1}\mid \tau \in A_8\}$$
の元の個数と、$\sigma$ が生成する巡回部分群 $⟨\sigma ⟩$ の $A_8$ における正規化群
$$N_{A_8}(⟨\sigma ⟩)=\{\tau \in A_8\mid \tau ⟨\sigma ⟩{\tau }^{-1}=⟨\sigma ⟩\}$$
の位数を、この順に組で求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$G=G{L}_3({\mathbb{F}}_3)$ を ${\mathbb{F}}_3$ の元を成分とする $3$ 次正則行列全体が行列の積についてなす群とする。$G$ の元のうち、位数がちょうど $2$ であるもの（すなわち $A^2=I$ かつ $A\ne I$ を満たす $A\in G$）の個数を求めよ。

${\mathbb{Z}}^3$ の部分群 $H$ を、$2$ つの元 $$(2,4,0),(8,22,6)$$ で生成される部分群とし、$G={\mathbb{Z}}^3/H$ とおく。$G$ の部分群 $K$ で、指数が $[G:K]=12$ であるものの個数を求めよ。

$G$ を位数 $105$ の非可換群とする。$G$ の元のうち、位数がちょうど $15$ であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{Z}}^3$ の部分群 $N$ を、3 つの元
$$(2,4,4),(-2,2,8),(4,2,-4)$$
で生成される部分群とし、$G={\mathbb{Z}}^3/N$ とおく。$G$ の部分群 $H$ で、指数 $[G:H]$ がちょうど $6$ であるものの個数を求めよ。

$G$ を位数 $2023$ の群とし、$G$ は位数 $289$ の元をもたないとする。$G$ の元のうち、位数がちょうど $119$ であるものの個数を求めよ。

アーベル群 $G$ を、生成元 $x,y,z$ と関係式
$$2x=0,22x+6y=0,14x+24y+12z=0$$
で定まる群とする（加法的に書く）。すなわち $G={\mathbb{Z}}^3/N$ であり、$N$ は $(2,0,0)$, $(22,6,0)$, $(14,24,12)$ で生成される ${\mathbb{Z}}^3$ の部分群である。$G$ の元のうち、位数がちょうど $12$ であるものの個数を求めよ。

$G$ を位数 $12$ の有限群とし、$G$ のシロー $3$-部分群は $G$ の正規部分群でないとする。$G$ の元のうち、位数がちょうど $2$ であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_5$ を $5$ 元からなる有限体とし、$G{L}_2({\mathbb{F}}_5)$ を ${\mathbb{F}}_5$ の元を成分とする $2$ 次正則行列全体が行列の積についてなす群とする。$G{L}_2({\mathbb{F}}_5)$ の元のうち、位数がちょうど $4$ であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_7$ を位数 $7$ の有限体とし、$$G=\{f_{a,b}:{\mathbb{F}}_7\to {\mathbb{F}}_7,f_{a,b}(x)=ax+b\mid a\in {\mathbb{F}}_7^{\times },b\in {\mathbb{F}}_7\}$$ を写像の合成に関する群（位数 $42$）とする。${\mathbb{F}}_7$ の各元に赤・青・緑の $3$ 色のいずれかを塗る塗り方全体の集合を $X$ とする（$|X|=3^7$）。$c\in X$ を写像 $c:{\mathbb{F}}_7\to \{\text{赤},\text{青},\text{緑}\}$ とみなし、$g\in G$ を $(g\cdot c)(x)=c(g^{-1}(x))$ によって $X$ に作用させる。この作用の軌道の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_5$ を位数 $5$ の有限体とし、$$G=\{{\phi }_{a,b}:{\mathbb{F}}_5\to {\mathbb{F}}_5,{\phi }_{a,b}(x)=ax+b\mid a\in {\mathbb{F}}_5^{\times },b\in {\mathbb{F}}_5\}$$ を写像の合成を積とする群（位数 $20$）とする。写像 $f:{\mathbb{F}}_5\to \{1,2,3\}$ 全体の集合を $X$ とし（$|X|=3^5$）、$G$ は $X$ に $$(g\cdot f)(x)=f\left(g^{-1}(x)\right)(g\in G,f\in X,x\in {\mathbb{F}}_5)$$ によって作用する。この作用による $X$ の軌道の個数を求めよ。

$V=(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}{)}^2$ を加法群とし、$V$ の自己同型 $D$ を
$$D(x,y)=(2x,4y)((x,y)\in V)$$
で定める（$D^3=\mathrm{id}$ である）。集合 $G=V\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ に演算
$$(v,i)\cdot (w,j)=(v+D^{i}w,i+j)$$
を入れて得られる位数 $147$ の群（半直積 $V{⋊}_D\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$）を考える。$G$ の自己同型群 $\mathrm{Aut}(G)$（$G$ から $G$ への群同型全体が写像の合成についてなす群）の位数を求めよ。

${\mathbb{Z}}^3$ の部分群 $H$ であって、剰余群 ${\mathbb{Z}}^3/H$ が $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ と同型になるものの個数を求めよ。

位数 $147=3\cdot 7^2$ の有限群を、同型なものは同じとみなして考える。位数 $147$ の群の同型類の個数を求めよ。

$Q_8=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ を四元数群とする（$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$）。また、$C_4=⟨z⟩$ を位数 $4$ の巡回群とし、直積群
$$G=Q_8\times C_4$$
を考える。$G$ の自己同型群 $\mathrm{Aut}(G)$（$G$ から $G$ への群同型全体が写像の合成についてなす群）の位数 $|\mathrm{Aut}(G)|$ を求めよ。

$G$ を位数 $351$ の有限群とし、$G$ のシロー $13$-部分群は $G$ の正規部分群でないとする。$G$ の部分群のうち、位数がちょうど $9$ であるものの個数を求めよ。

成分がすべて $0$ または $1$ である $3\times 3$ 行列全体の集合を $X$ とする（$|X|=2^9$）。$A,B\in X$ について、$A$ に「行の並べ替え」「列の並べ替え」「転置」の操作を有限回（$0$ 回も含む）くり返して $B$ が得られるとき、$A$ と $B$ は同値であるという。この同値関係による $X$ の同値類の個数を求めよ。

加法群 $$G=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$$ を考える。$G$ の自己同型群 $\mathrm{Aut}(G)$ の位数を求めよ。

$G$ を位数 $273$ の有限群とする。$G$ の元のうち位数がちょうど $3$ であるものの個数を $a(G)$ とおく。$G$ が位数 $273$ のすべての群を動くとき、$a(G)$ としてありうる値をすべて求めよ。

位数 $144$ の群は単純群でないこと、すなわち位数 $144$ の任意の群 $G$ は $\{e\}$ と $G$ 以外の正規部分群をもつことを証明せよ。ただし、ここで単純群とは、単位群でなく、正規部分群が自明なもの（$\{e\}$ と自分自身）しかない群のこととする。シローの定理（シロー部分群の存在・共役性、およびシロー $p$ 部分群の個数 $n_p$ が $n_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ かつ $n_p$ が $|G|$ を割り切ること）、ラグランジュの定理、位数 $p^2$（$p$ は素数）の群が可換であることは用いてよい。

有限群 $G$ が有限集合 $X$ に（左から）推移的に作用しているとし、$n=|X|\ge 2$ とする。$g\in G$ に対し $\mathrm{Fix}(g)=\{x\in X\mid gx=x\}$ とおき、不動点をもたない元全体を $D=\{g\in G\mid \mathrm{Fix}(g)=\varnothing \}$ とする。このとき
$$\frac{|D|}{|G|}\ge \frac{1}{n}$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、バーンサイドの補題「有限群 $H$ が有限集合 $Y$ に作用するとき、軌道の個数は $\frac{1}{|H|}\sum _{h\in H}|\{y\in Y\mid hy=y\}|$ に等しい」は用いてよい。