群論の問題

手順 1：素因数分解する。 $200=2^3\cdot 5^2$。

手順 2：素数ごとに分ける。 有限アーベル群の基本定理より、位数 $200$ のアーベル群 $A$ は、位数 $2^3$ のアーベル群（$2$-部分）と位数 $5^2$ のアーベル群（$5$-部分）の直和にただ 1 通りに分かれる。さらに位数 $p^e$ のアーベル群は
$$\mathbb{Z}/p^{a_1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/p^{a_r}(a_1\ge \cdots \ge a_r\ge 1,a_1+\cdots +a_r=e)$$
の形にただ 1 通りに表され、同型類は $e$ の分割と 1 対 1 に対応する。よって同型類の個数は $p(3)\cdot p(2)$ である。

手順 3：分割数を数える。
- $3$ の分割：$3,2+1,1+1+1$ の $3$ 個。対応する $2$-部分は $\mathbb{Z}/8,\mathbb{Z}/4\oplus \mathbb{Z}/2,(\mathbb{Z}/2{)}^3$。
- $2$ の分割：$2,1+1$ の $2$ 個。対応する $5$-部分は $\mathbb{Z}/25,(\mathbb{Z}/5{)}^2$。

手順 4：掛け合わせる。 $2$-部分と $5$-部分は独立に選べるので、積の法則より
$$p(3)\cdot p(2)=3\cdot 2=6$$
個である。

（参考：単因子型で書くと、たとえば $\mathbb{Z}/4\oplus \mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/5\oplus \mathbb{Z}/5\cong \mathbb{Z}/10\oplus \mathbb{Z}/20$ のように、各素数の大きい方の成分どうしをまとめればよい。）

有限生成アーベル群の構造定理より、位数 $200=2^3\cdot 5^2$ のアーベル群は、$2$-部分（位数 $8$）と $5$-部分（位数 $25$）の直積に一意に分解され、同型類の個数は各素数べきの部分の同型類の個数の積である。位数 $p^k$ のアーベル群の同型類は $k$ の分割の個数 $p(k)$ に等しい。\n\n- 位数 $8=2^3$: $3=3=2+1=1+1+1$ より $p(3)=3$ 個（$\mathbb{Z}/8$, $\mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/2$, $(\mathbb{Z}/2{)}^3$）。\n- 位数 $25=5^2$: $2=2=1+1$ より $p(2)=2$ 個（$\mathbb{Z}/25$, $(\mathbb{Z}/5{)}^2$）。\n\nよって $3\times 2=6$ 個。\n\n検算: 不変因子型で列挙すると、$\mathbb{Z}/200$、$\mathbb{Z}/100\times \mathbb{Z}/2$、$\mathbb{Z}/40\times \mathbb{Z}/5$、$\mathbb{Z}/20\times \mathbb{Z}/10$、$\mathbb{Z}/10\times \mathbb{Z}/10\times \mathbb{Z}/2$、$\mathbb{Z}/10\times \mathbb{Z}/10\times \mathbb{Z}/2$ …は重複に注意して数えると、$(2\text{-部分},5\text{-部分})$ の 6 通りの組に対応して 6 個で一致する。