群論の問題

手順 1：$\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/13)$ を書き表す。 $\mathbb{Z}/13$ の自己同型は生成元 $1$ の行き先 $u$ で決まり、$x\mapsto ux$ が自己同型になるのは $u$ が $13$ と互いに素なときである。よって
$$\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/13)\cong (\mathbb{Z}/13{)}^{\times },u\leftrightarrow (x\mapsto ux)$$
で、$13$ は素数なので $(\mathbb{Z}/13{)}^{\times }=\{1,2,\dots ,12\}$ は位数 $13-1=12$ の群である。

手順 2：準同型を 1 の行き先で決める。 $\mathbb{Z}/4$ は $1$ で生成されるので、準同型 $\rho$ は $\rho (1)=u\in (\mathbb{Z}/13{)}^{\times }$ で決まる。$4\cdot 1=0$ なので $u$ は $u^4\equiv 1(\mathrm{mod}13)$ を満たさなければならず、逆にこれを満たす $u$ を選べば $\rho (k)=u^k$ は矛盾なく定まる準同型になる。したがって準同型の個数は
$$\#\{u\in (\mathbb{Z}/13{)}^{\times }\mid u^4\equiv 1(\mathrm{mod}13)\}$$
である。

手順 3：数える。 $u^4\equiv 1$ は $(u^2-1)(u^2+1)\equiv 0$ と同値で、$13$ は素数なので $u^2\equiv 1$ または $u^2\equiv -1\equiv 12(\mathrm{mod}13)$。
- $u^2\equiv 1$：$u\equiv 1,12$。
- $u^2\equiv 12$：$5^2=25\equiv 12$、$8^2=64\equiv 12$ より $u\equiv 5,8$。

それぞれの 2 次合同式は素数を法とするので解は高々 2 個であり、これで全部である。（$(\mathbb{Z}/13{)}^{\times }$ は位数 $12$ の巡回群なので、$u^4=1$ を満たす元の個数は $\gcd (4,12)=4$ と考えても同じ。）

よって準同型は $u=1,5,8,12$ に対応する $4$ 個である（$u=1$ は自明な作用で、直積 $\mathbb{Z}/13\times \mathbb{Z}/4$ を与える）。

13 は素数なので $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/13)\cong (\mathbb{Z}/13{)}^{\times }$ は位数 12 の巡回群である。巡回群 $\mathbb{Z}/4$ からの準同型は生成元 $1$ の像で決まり、像 $g$ は $g^4=e$ を満たす元であればよい。逆に、そのような $g$ に対して $\rho (k)=g^k$ は well-defined な準同型になる。位数 12 の巡回群には、$g^4=e$ を満たす元がちょうど $\gcd (4,12)=4$ 個ある（位数が 1, 2, 4 の元で、それぞれ 1, 1, 2 個）。具体的には $(\mathbb{Z}/13{)}^{\times }$ で $x^4=1$ の解は $x=1,12,5,8$（$5^2=25\equiv -1$, $8^2=64\equiv -1$）の 4 個であり、確かに 4 個。よって準同型 $\rho$ は 4 個。