群論の問題

バーンサイドの補題より、軌道の個数は $\frac{1}{|G|}{\sum }_{g\in G}|\mathrm{Fix}(g)|$ である。$|G|=|S_2|\cdot |S_3|=2\cdot 6=12$。

固定点の個数は共役類ごとに一定。 $(\sigma ,\tau )$ は成分の位置の集合 $\{1,2\}\times \{1,2,3\}$（6 個）の置換 $(i,j)\mapsto (\sigma (i),\tau (j))$ を引き起こす。行列が固定されるのは、この置換の各巡回の上で成分が一定のときなので、巡回の個数を $c$ とすると $|\mathrm{Fix}|=2^c$。$\sigma$ の巡回の長さを $a_i$、$\tau$ の巡回の長さを $b_j$ とすると、長さ $a_i$ の巡回と長さ $b_j$ の巡回の積の部分（$a_i{b}_j$ 個の位置）は長さ $\mathrm{lcm}(a_i,b_j)$ の巡回 $\gcd (a_i,b_j)$ 個に分かれるので
$$c=\sum _{i,j}\gcd (a_i,b_j)$$
であり、$c$ は巡回型の組だけで決まる。

共役類の表。 $S_2$ の類：$1^2$（1 個）、$2$（1 個）。$S_3$ の類：$1^3$（1 個）、$12$（3 個）、$3$（2 個）。

類の大きさの合計は $1+3+2+1+3+2=12=|G|$ で確かにすべての元を数えている。

平均をとる。
$$\frac{1}{12}(64+48+8+8+24+4)=\frac{156}{12}=13.$$
よって軌道の個数は $13$ である。

バーンサイドの補題を使う。$|X|=2^6=64$、$|G|=2\cdot 6=12$。$(\sigma ,\tau )$ で固定される行列の個数は、6 個のセル $\{1,2\}\times \{1,2,3\}$ に対する $(\sigma ,\tau )$ の作用の巡回（サイクル）数を $c$ として $2^c$ である。$\sigma$ の長さ $a$ の巡回と $\tau$ の長さ $b$ の巡回の組からは $\gcd (a,b)$ 個のサイクルができる。\n\n$\sigma =\mathrm{id}$（巡回型 $1,1$）:\n- $\tau =\mathrm{id}$（1 個）: $c=6$、固定数 $2^6=64$。\n- $\tau$ が互換（型 $2,1$、3 個）: 各行ごとに $\gcd (1,2)+\gcd (1,1)=2$、計 $c=4$、固定数 $16$。合計 $3\times 16=48$。\n- $\tau$ が 3 次巡回（2 個）: 各行ごとに $1$、計 $c=2$、固定数 $4$。合計 $2\times 4=8$。\n\n$\sigma =$ 互換（型 $2$）:\n- $\tau =\mathrm{id}$（1 個）: $\gcd (2,1)\times 3=3$、固定数 $2^3=8$。\n- $\tau$ が互換（3 個）: $\gcd (2,2)+\gcd (2,1)=3$、固定数 $8$。合計 $3\times 8=24$。\n- $\tau$ が 3 次巡回（2 個）: $\gcd (2,3)=1$、固定数 $2$。合計 $2\times 2=4$。\n\n総和は $64+48+8+8+24+4=156$。軌道数 $=156/12=13$。\n\n検算（直接数え上げ）: 1 の個数 $k$ ごとに軌道数を数える。$k=0$: 1、$k=1$: 1、$k=2$: 同じ列に 2 つ／同じ行に 2 つ／異なる行かつ異なる列 の 3、$k=3$: 補（$k=3$ は $k=3$ 自身と対応）を考えると、$k=4$ は $k=2$ の 0/1 反転で 3、$k=5$ は 1、$k=6$ は 1。$k=3$ の軌道は、行の 1 の個数が $(3,0)$、$(2,1)$ のとき: $(3,0)$ は 1 通り、$(2,1)$ は 1 の位置の重なりが 2 列（1 行目 2 個の列のうち 1 つが 2 行目と重なる：列の入れ替えで 1 通り）、重なりが 0 列（2 行目の 1 が残り 1 列の上）の 2 通り、計 3 通り。よって $k=3$ は 3。合計 $1+1+3+3+3+1+1=13$。ただし $k=2$ の 3 通りと $k=3$ の 3 通りは上記のとおりで、$1+1+3+3+3+1+1=13$ となり一致する。