群論の問題

手順 1: $|G{L}_2({\mathbb{F}}_7)|$ を求める。

公式 $|G{L}_n({\mathbb{F}}_q)|={\prod }_{i=0}^{n-1}(q^n-q^i)$ に $n=2,q=7$ を代入する。これは、正則行列の第 1 列が ${\mathbb{F}}_7^2$ の零でないベクトル（$7^2-1$ 通り）、第 2 列が第 1 列のスカラー倍でないベクトル（$7^2-7$ 通り）であることを積の法則で数えたものである。

$$|G{L}_2({\mathbb{F}}_7)|=(7^2-1)(7^2-7)=48\cdot 42=2016.$$

手順 2: $|S{L}_2({\mathbb{F}}_7)|$ を求める。

行列式 $\det :G{L}_2({\mathbb{F}}_7)\to {\mathbb{F}}_7^{\times }$ は全射な準同型で、その核が $S{L}_2({\mathbb{F}}_7)$ である。$|{\mathbb{F}}_7^{\times }|=7-1=6$ なので、

$$|S{L}_2({\mathbb{F}}_7)|=\frac{|G{L}_2({\mathbb{F}}_7)|}{7-1}=\frac{2016}{6}=336.$$

したがって $|S{L}_2({\mathbb{F}}_7)|=336$ である。

$G{L}_2({\mathbb{F}}_q)$ の位数を数える。第 1 列は零でないベクトルなので $q^2-1$ 通り、第 2 列は第 1 列の定数倍でないベクトルなので $q^2-q$ 通り。よって $|G{L}_2({\mathbb{F}}_q)|=(q^2-1)(q^2-q)$。行列式 $\det :G{L}_2({\mathbb{F}}_q)\to {\mathbb{F}}_q^{\times }$ は全射な準同型（$\mathrm{diag}(a,1)$ の行列式が $a$）で、その核が $S{L}_2({\mathbb{F}}_q)$ なので $|S{L}_2({\mathbb{F}}_q)|=(q^2-1)(q^2-q)/(q-1)=q(q^2-1)$。$q=7$ を代入して $7\cdot (49-1)=7\cdot 48=336$。検算: $|G{L}_2({\mathbb{F}}_7)|=48\cdot 42=2016$、$2016/6=336$。一致する。